循环群若干重要性质的探讨

摘 要：在《近世代数》中有一个非常重要的内容，那就是群，而循环群是一种特殊的群，它具有很多性质和应用，在文章中给出了它的五条重要性质.

关键词：循环群；生成元；群的阶

在《近世代数》中循环群作为一类特殊的群，它的性质有很多，下面给出它的五条重要而且常用的性质。

定義 若一个群的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，就把G叫做循环群，用符号G=（a）表示。

性质1：一个循环群一定是一个交换群。

证明：设x=am和y=an是循环群G的任意两个元，则xy=aman=am+n=yx，所以循环群G是交换群。

性质2：（1）假定G是无限阶的循环群，G是任何循环群，则G与G同态。

（2） 假定G与G是两个有限循环群，它们的阶各是m与n，若G与G同态，则nm。

证明：（1）设G=（a），G=（b），定义φ：ak→bk，k∈Z。因为G=（a）是无限循环群，所以a为无限，从而ak=alk=l。于是，若ak=al，则φ（ak）=φ（al），故φ是映射。又易知φ是满射且保持运算，因此G与G同态。

（2） 因G与G同态，设φ为其一同态满射，则G/KerφG，于是nm。

性质3：循环群的子群和商群都是循环群。

例1：设循环群G=（a），N是G的一个子群且（G：N）=m。证明G/N是m阶循环群且e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表。

证明：由性质3知，G/N是循环群且N也是循环群。令N=（at），则易知N，aN，…，at-1N是G关于N的所有不同的陪集。

因为（G：N）=m，所以t=m，于是e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表，从而G/N是由aN生成的m阶循环群。

性质4：（1）无限循环群有无限多个子群；

（2） 当（a）为n阶循环群时，对n的每个正因数k，（a）有且只有一个k阶子群，这个子群就是（ank）。

证明：（1）设（a）为无限循环群，则易知（e），（a），（a2），…是（a）的全部互不相同的子群（且显然（a），（a2），…都是无限循环群）。

（2） 设（a）为n阶循环群，则a=n，又设kn，并令n=kq，则aq=k，从而（aq）是（a）的k阶子群。又设N也是（a）的一个k阶子群，则由性质3，设N=（am），则am=k，但am=n（m，n），从而n（m，n）=k，n=k（m，n）。由上及n=kq得q=（m，n），qm，于是am∈（aq），（am）（aq）。但由于（aq）和（am）的阶都是k，故（am）=（aq），即（a）的k阶子群是唯一的。

性质5：无限循环群（a）有两个生成元，即a和a-1；n阶循环群有φ（n）个生成元，其中φ（n）为欧拉函数。

证明：当a=∞时，（a）只有生成元a和a-1。

当a=n时，元ak（0

例2：设G是n阶循环群，若G中有m阶元素，则G中恰有φ（m）个m阶元素。

证明：因G为n阶循环群，且G中有m阶元素a，则（a）为m阶循环群，由性质5知（a）有φ（m）个生成元，即（a）中有φ（m）个阶为m的元素。

设b为G中任一个阶为m的元素，则（b）也是G的一个m阶循环子群，但由性质4知，循环群G只有一个m阶子群，故必（b）=（a），从而b∈（a），即G的m阶元素全在（a）中，因此，G中恰有φ（m）个m阶元素。

参考文献：

[1]张和瑞著.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]杨子胥编.近世代数习题解[M].济南：山东科学技术出版社，2003（1）.

作者简介：

霍凤茹，河北省衡水市，衡水学院数学与计算机科学系。