不定积分的一题多解问题

摘 要：换元积分法是不定积分计算的一个重点也是一个难点，在教学过程中发现学生对不定积分的换元积分的计算掌握的不是很好。本文通过具体的例子，给出了同一个不定积分题目的五种不同的换元方法，从而更好地掌握不定积分换元积分的计算。

关键词：不定积分；第一换元积分法；第二换元积分法

从该例的五种解题方法中我们可以看到不定积分换元积分法的灵活性，同一个不定积分有时可以用第一换元积分法来求解，也可以用第二换元积分法求解。本例中方法（一）和方法（二）用的是第二换元积分法中的三角换元、方法（三）和方法（四）用的是第二换元积分法中的根式换元、方法（五）用的是第一换元积分。

不定积分计算中需要注意：

（1） 在不定积分的计算中，选用的方法不一样，最后得到的不定积分的表达形式可能相同也可能不相同，如方法（一）和方法（二）得到的结果的表达式就不一样。

（2） 在不定积分的计算中，首先要考虑被积函数的定义域，换元之后要考虑中间变量的范围，在教学过程中很多学生都会忽略定义域的问题，从而丢失一部分解。

（3） 在不定积分计算中第一换元和第二换元积分法有时會结合起来一起用。

参考文献：

[1]隋如彬，吴刚，杨兴云.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2013（7）.

[2]吴赣昌.微积分（经管类）[M].北京：中国人民大学出版社，2008（4）.

作者简介：

王仲梅，湖南省长沙市，湖南商学院数学与统计学院。