二次根式及性质的思维训练

赵继军

二次根式运算及性质是初中学习的重难点，是中考的热点问题。复习时要胸有成竹，统筹兼顾。以新课标为统领，知识链接恰当及时，挖掘精致题型，提倡一题多解，课后反思。在深入掌握知识的同时兼顾思维训练。最终，达到知识学习与思维训练的双丰收。

一、强化模式，训练思维定式（定式思维）

思维定式是指学生通常按习质性的、比较固定的思路去考虑、分析问题。缺点是阻碍思维开放和灵活性，易造成思维的僵化和呆板。要注意对公式、定理或常用数值的有效记忆，注重对典型题型的掌握，从而为熟练灵活运用所学做好准备。

二、夯实基本功，训练思维的敏捷性（初步）

思维的敏捷性指思维活动的反应速度和熟练程度，表现为思考问题时，快速灵活，善于迅速和准确地做出决定。它是以具有渊博知识，对知识理解透彻深刻，丰富的学习经验为前提的。应加大对二次根式性质最基础部分的练习，使学生达到脱口而出的熟练程度，为以后训练更深层次的敏捷性做好铺垫。

1.适当强调熟记功能

a.记住1～19各数的平方。

b.记住1～19各数平方后的算数平方根。

d.对完全平方式或平方差的各形式烂熟于胸（正逆运算都成立）。

e.对根式的性质要务必夯实基础，理解实质。

三、聚焦变形，训练思维的深刻性

思维的深刻性指思维活动的抽象和逻辑推理水平，表现为理解概念透彻，分析问题周密，研究问题由表及里。重点是透过现象洞察本质，研究解题的合理性和严谨性。故训练思维的深刻性其实就是培养学生的数学分析能力。故根式变形后，看你是否有一双“慧眼”，挖掘隐含，能否由表及里洞穿假象？

四、联想拓展，训练思维的广阔性

思维广阔性指思维活动发挥作用的广阔程度，表现为思维思路开阔，善于联想，善于挖掘题目的隐含关系。知识面开阔，能多角度思考问题。具有一定的归纳能力。为了克服思维狭隘、呆板的不足，展现开阔性，我们设计了以下题目。

五、变换途径，训练思维的灵活性（发散思维的特征）

思维的灵活性是根据客观条件的变化，改变原来的思维过程，寻找新的解决问题的途径，属于思维核心。它与其他思维品质相互渗透，相互促进，是辩证统一的关系。为此，教师首先应吃透教材，大力增加变式教学的力度。提倡多思善问，解题使用独特、新颖的方法，鼓励从不同的角度和途径寻求答案，用一题多解、开发逆向思维等方法培养思维的灵活性。

六、克服僵化，训练思维的变通性（发散思维的特征）

变通性為克服人们头脑中某种自己设置的僵化的思维框架，按照某一新的方向来思索问题。首先，要深入细致观察题目，认真审题。面对不明显的、晦涩的隐含条件，需大胆展开符合数学逻辑关系的联想、猜想。利用所学知识手段，抓住特征，巧妙正确转换，由繁到简，由抽象到具体。为此：

七、正逆互化，训练思维双向性

如果只一味注重学生正向思维的刻意培养，而忽视了逆向思维的深刻挖掘，势必造成学生思维活动的单向性，极易造成思维定式的阻碍，也就妨碍了学生思维的有效开发和拓展。为了避免此类现象的发生，需及时训练思维的双向性。

对概念讲解，注重从正逆思维两方面展开教学。对公式和定理等不仅会正向思维，同时做到正、逆思维互化。如平方和开方，n次方和开n次方。

八、精准择优，训练思维的批判性（属于创造性思维，思维训练目标）

批判性思维是以合理的、反思的、心理开放的方式，抓住问题的关键节点，对问题重新思考、梳理的一种综合性思维技巧。在教学里，倡导质疑、反思，一问多答，一题多解。具体做法：针对一题多解或对比异同思维，能精细检查思维过程，并且能从多种不同的思路中“择优”，摘出“内伤”，甄别选出最佳治疗方案，开出“处方”，利用自己的“火眼金睛”透过现象看清本质。

正解：ab=4，则a，b同号。又a+b=-5，a，b为负数。即：a<0，b<0。

解题方法：

（1）分母有理化。（2）分子有理化。（3）令原式为k，求k的平方（从<1><2><3>中确保被开方数为正数或零）。（4）求出单个a，b的值，再求原式的值。

九、转换思路，训练思维的独创性（思维训练的终极目标）

思维的独创性指思维活动的创造性，即思维不按常理出牌。解题的实质是转换思路的过程，故对题目的不寻常的分析或计算就是思维创新的最初阶段，应大力提倡。虽课堂上倡导数学教育过程性原则，但要调节好各个因素的分寸，不可偏废。同时，针对一些能力突出的学生，利用课余时间，在教师有组织、有意识的点拨启发下，进行独创性训练，展开讨论争辩，好处多多，不失为一种独创性训练的好办法。为此：

2.在Rt △ABC中，∠C=90°，DE折叠，点A恰好与点B重合。

（1）求：DE的长。

（2）求四边形BCED的面积。

编辑 王彦清