模型论方法在格中的应用①

陆煜杰， 陈国龙

(1.淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000;2.宿州学院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

模型论是数理逻辑的主要分支学科之一,是研究形式语言及其解释(模型)之间关系的理论。它是一个年轻的分支,近年来发展较快,并开始将模型论方法应用到多个数学结构中,从而得出各个不同的数学结构及其理论所特有的性质。如利用紧致性定理去解决高等代数中有限维线性空间问题和讨论其在群环域中的相关应用,利用完全理论证明代数中的向量组扩充问题及在有限线性域中完全弱理论与模型弱理论等价问题。在此基础上将紧致性定理和完全理论运用到格中去证明相关性质。第一部分给出格,紧致性定理和完全理论的相关定义及引理。第二部分运用紧致性定理证明两个格在满足一定条件下形成子格的关系和证明幂集格是完备格，运用完全理论证明偏序集是任意并的即为意交的(完备∧-半格)。

1 准备工作

定义1[3]设P是集,是P上的二元关系。考虑以下性质:

(1)自反性:∀a∈P,aa;

(2)反对称性:∀a,b∈P,ab,ba⟹a=b;

(3)传递性:∀a,b,c∈P,ab,bc⟹ac。

定义2[2]设(L,)是偏序集,若L关于有限并与有限交都封闭,则称(L,)偏序集为格。

定义3[3]设(L,)是格,S⊆L。若S对于L中的有限并与有限交都封闭,则称S是L的子格。

定义4[4](紧致性定理)L中理论T有模型的充分必要条件是T的每一有限子集都有模型。

定义5[4]设T是L中的理论。如果对于T的任何模型μ,β都有μ≡β(初等等价),则称T为完全的。

引理1[3]设L1,L2都是格,f:L1→L2是映射,若f保有限并和有限交,则称f为格同态。单满的格同态称为格同构。

引理2[3]有任意并的偏序集称为完备∨-半格。有任意交的偏序集称为完备∧-半格。有任意并与任意交的偏序集称为完备格。

2 主要结果的证明

定理1 假设L1,L2都是格。若f:L1→L2是映射,并且是序同构。证明f(L1)是L2的子格。

证明: 若f(L1)是L2的子格。由定义3可知,f(L1)⊆L2,f(L1)对于L2中的有限并与有限交都封闭。因为L1,L2都是格,f:L1→L2是映射,并且是序同构。所以f是单满的格同态。从而f保有限并和有限交,并且f(L1)⊆L2。由模型论中的紧致性定理可知,f(L1)保有限并与有限交。则在L2中具有封闭性。这就证明了f(L1)对于L2中的有限并与有限交都封闭。所以f(L1)是L2的子格。

定理2 假设(P,)是偏序集,偏序集(P,)是任意并的,证明偏序集(P,)是任意交的。

证明: 因为(P,)是偏序集,所以(P,)满足定义1中的性质。由引理2可知,任意交的偏序集为完备∧-半格,任意并的偏序集为完备∨-半格。从而假设S⊆P,a是S的一个下界。M是S的下界的集合,a=∨M。s∈S且s>a。所以s是S的上界。由定义5可知,a满足S当且仅当s满足S。a与s是初等等价的。从而a=∧M。这就证明了偏序集(P,)是任意交的。

定理3 假设L是集合S的有限幂集,证明幂集格是完备格。

证明:L是集合S的有限幂集。从而满足对于A,B⊆L(S)满足ab⟺A⊆B。由定义1可知(L,)是偏序集,并且有限并与有限交都是封闭的。即∀a,b∈L(S),a∨b与a∧b都存在。所以偏序集(L,)是格。故有限幂集格是完备格。由模型论中的紧致性定理可知,幂集格是完备格。

3 结 语

通过将模型论方法中的紧致性定理和完全理论应用到格中,证明了满足一定条件下的两个格是子格关系,任意并的偏序集(完备∨-半格)即为任意交的偏序集(完备∧-半格)和幂集格是完备格。