辨析概率论中容易混淆的几个概念

严峰军 吴静 樊雪双

摘 要：概率论的学习中有些概念学生容易与直觉相混淆，本文通过一些具体的例题说明这些概念的区别和联系

关键词：互不相容；相互独立；频率；概率；不可能事件；必然事件

一、 互不相容和相互独立

互不相容：A·B=φ

相互独立：P（AB）=P（A）P（B）

例1：设盒中有2个黑球，1个白球，现从盒中抽球两次，每次抽取出一球。

设：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“第二次抽取的是黑球”

问题：（1）若该试验为有放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？

（2）若该试验为不放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？

解：（1）事件A与B相互独立，又因为事件A与B可能同时发生，

所以事件A与B是相容的。

事实上由于P（A）=23，P（B/A）=P（B）=23，

∴P（AB）=P（A）P（B/A）=P（A）P（B）=49，

即事件A与B相互独立，然而P（AB）=49，即有AB≠φ，

所以事件A与B是相容的。

（2）事件A与B不相互独立，第一次抽取一球后必然改变盒中两种颜色的球的组成成分，从而影响了第二次抽球，因为盒中有2个黑球，即使不放回抽样，事件A与B依然可能同时发生，所以事件A与B相容。

事实上，由于P（A）=23，P（B/A）=23，P（B）=12，

∴P（AB）=P（A）P（B/A）=49，P（A）P（B）=13。

所以事件A与B不相互独立，此时易知AB≠φ，所以事件A与B是相容的。

两事件相互独立与两事件互不相容虽是两个不同的概念，但它们之间也有关系。

例2：证明：若P（A）>0，P（B）>0，则有

（1）当事件A与B相互独立时，AB≠φ，即A与B相容。

（2）当A·B=φ即事件A与B互不相容时，A与B不独立。

证（1）因事件A与B相互独立，且P（A）>0，P（B）>0，∴P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠φ，即事件A与B相容。

（2）因A·B=φ，故P（AB）=P（φ）=0，而P（A），P（B）均为正数，故P（A）·P（B）也为正数，于是P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立。

由上例得到“互不相容”与“相互独立”之间的关系

结论：当事件A，B的概率都非零（大于零）时，若A与B相互独立，则A与B必相容；反之，若A与B互不相容，则A与B必不相互独立。

二、 频率和概率

概率的统计性定义：在相同的条件下，独立重复的做n次试验，设μ是n次试验中事件A发生的次数，当试验次数n充分大时，若事件A的频率fn（A）=μ/n将“稳定”于某常数p的“附近”；且随着试验次数的增多，频率偏离这个常数p的可能性越来越小，则称常数p为事件A在该条件下发生的概率，记作P（A）=p。但是，能否认为频率的极限就是概率呢？我们可以先做假设limn→∞μn=p，即对ε>0，某个N，当n>Nμn-p<ε。

在抛硬币试验中，事件A表示出现正面，p（A）=0.5，取0<ε<0.5，不论N多大，存在n>N，此时n次试验中每次出现正面是可能发生的，则μn-p=nn-0.5=0.5>ε，因此limn→∞μn=p不成立。

但我们发现n次试验中每次出现正面的概率为12n→0（n→∞），发生的可能性很小，几乎为零。也就是说对）ε，limn→∞pμn-p<ε=1成立，即频率μn依概率收敛于概率p，这就是伯努利大数定律。

我们再通过一个具体的例子——野生资源调查问题，来体会一下何为频率何为概率。池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号，用A表示事件“任捞一条带记号”，问下面两个数：200n，4200，哪个是A的频率？哪个是A的概率？由概率的統计定义不难知道，前者为概率，后者是频率。

三、 概率为零的事件不一定是不可能事件

我们知道不可能事件的概率确定为零，不可能事件可表示为A=φ，则P（A）=0。反之则不成立，概率为零的事件却不一定为不可能事件，当P（A）=0，不一定能得到A=φ。

例如：在几何概率中，设

Ω=（x，y）：x2+y2≤9

A=（x，y）：x2+y2=9

Ω为圆域，而A为其中一圆周，则P（A）=A的面积Ω的面积=09π=0。显然，A是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周x2+y2=9上的情况是可能发生的。又如，对于连续型随机变量X，有P（X=a）=0，但X=a是可能发生的，即X可以取到值a。

那么在何种情况下当P（A）=0时，才有A=φ，其仅在样本点有限或样本点可数这种特殊的情况下才成立。

四、 概率为1的事件不一定是必然事件

我们知道必然事件的概率值一定等于1，即当A=Ω时，得到P（A）=1，但反过来概率等于1的事件却不一定是必然事件，即当P（A）=1时，不一定能得到A=Ω。

例如：在几何概率中，设

Ω=（x，y）：x2+y2≤4

A=（x，y）：x2+y2=1

A-=Ω-A=（x，y）：x2+y2≤4且x2+y2≠1

故：P（A-）=P（Ω）-P（A）=1-0=1

但事件A-显然不是必然事件Ω。若向Ω内随机投点，点有可能不落在A-上而落在A上。

又如，对于连续型随机变量X，P（X≠a）=1，但X≠a不是必然会发生的。只是在样本点有限（如古典概型）或样本点可数的特殊情况下，

当P（A）=1时，才有A=Ω。

综上，理解数学概念是掌握定理、法则、公式和解题方法的基础，学习时要理清概念、定理、公式和法则的来龙去脉，要有针对性的弄清它们的逻辑联系、内涵和外延，注意归纳整理，这样才能更加游刃有余地解决概率当中的问题。

参考文献：

[1]马元生.概率统计简明教程[M].北京：科学出版社，2007.

[2]运怀立.概率论的思想与方法[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[3]梅长林，王宁，周家良.概率论和数理统计：学习与提高[M].西安：西安交通大学出版社，2001.

作者简介：

严峰军，吴静，樊雪双，讲师，陕西省西安市，西安思源学院基础部。