结构元线性生成的模糊数列的收敛性

舒天军, 莫智文

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

模糊数列作为模糊分析学的一个重要组成部分,可应用于近似理论、测度理论、级数理论等诸多领域.基于模糊距离,关于模糊数列极限的定义,一些学者[1-17]作了讨论.结构元生成模糊数的定义由郭嗣琮[18]于2002年提出,至今已经产生了许多有意义的成果.本文根据文献[19]给出的模糊距离,在水平收敛的前提下,定义了一种新的结构元线性生成的模糊数列的收敛定义,并用这种收敛定义研究了结构元线性生成的模糊数列的基本性质.同时定义了结构元线性生成的模糊数项级数且探讨了其性质.

1 预备知识

定义1.1[18]E是实数域R上的模糊集,隶属函数记为E(x),x∈R.如果E(x)满足下述性质：

1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

2) 在区间[-1,0)和(0,1]上,E(x)分别是单调递增右连续函数和单调递降左连续函数;

3) 在区间(-∞,-1)或(1,+∞)上,E(x)=0,

则称模糊集E为R上的模糊结构元.

显然,模糊结构元E是R上的正则凸模糊集,是有界闭模糊集.

则

∀a∈R,r∈R+}.

因为[-1,1]上所有同序标准单调有界函数关于“≤”(或“≥”)构成偏序集,则((E),≤)构成偏序集.

2)的证明类似1).

当n>N2时有

则令N={N1,N2},当n>N时有

则

且

可以推出

且

则有

且

所以

当n>N2时有

令N=min{N1,N2},则当n>N时有

则取N≥N1,当n>N时有

则有

且

从而

当n>N2时有

则有

且

从而

令N=min{N1,N2},当n>N时有

则

且

有

且

所以

定理得证.

特别地,如果模糊数项级数每一项都是正数,则称该数项级数为正项级数.

由定理2.3易证.

推论3.1对模糊收敛级数去掉、增加或改变有限个项,该模糊级数依然收敛.

推论3.2在收敛模糊级数中任意加括号,模糊级数亦收敛且和不变.

由定理2.6易证.

定理3.6模糊级数绝对收敛则一定收敛.

由绝对值不等式可得

推论3.4若模糊级数绝对收敛,则任意排序数列后的模糊级数也绝对收敛,且其和与原模糊级数和相同.