全空间ℝN上的渐近线性Schrödinger方程

朱亚杰，朱红波

（广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510006）

本文的研究动机来自于寻找以下非线性Schrödinger方程的驻波其中 ψ(x，t)：RN×[0，+∞)→ C，且对所有的. 方程(1)出现在许多物理应用中. 例如，在非线性光学、等离子体物理和凝聚态物理中出现的一些问题中，许多粒子的存在导致人们考虑用非线性项来模拟它们之间的相互作用.

对于方程(1)，笔者感兴趣的是寻找它的稳态解，即ψ(x，t)=u(x)eiωt，其中u (x)＞0,ω ＞0(频率)，易推导出函数u (x)满足下列方程

在本文中，将讨论如下带有一般非线性项的非线性方程

当位势函数 V(x)是一个常数或当| x|→ ∞时极限存在，非线性项 f(x，t)关于t在无穷远处渐近线性时，关于方程(3)存在性和多解性结论有很多，具体可见文献[1-7]. 但是在这些文献中， f(x，t)关于t在原点超线性，即当 t→0时， f(x，t)→ 0，并且q (x)是一个常数或f(x，t)≡ f(t). 本文的结果推广了文献[8]中的部分结论，在文献[8]中位势 V(x)=λ ＞0, f (x，t)关于 x是径向对称，即 f(x，t)=f(|x|，t)，并且当t ≥0时， f(|x|，t)单调非减，这两个条件的假设对文献[8]中结论的证明都起着至关重要的作用.

本文的结构如下. 在第1节中，类似于文献[8]，定义：

(消失)对所有的R ＞0，

本文证明了这两种情况都不可能发生，这样就导出矛盾. 最后，文证明了有界序列收敛到能量泛函I的非平凡的临界点. 通常有两种方法可以得到这种收敛性. 一种是要证明方程(3)对应的能量泛函与该方程在无穷远的方程的能量泛函之间存在严格的大小关系. 但是，这种方法通常要求在 f(x，t)关于t 是单调非减；另一种方法是利用伸缩变换t →u(x/t)，这种方法通常处理自治问题有……