“多维度”提升职高学生解题的思辨能力

易清良

摘 要：职高学生的解题思辨力特别缺乏。本文从五个维度阐述了如何提升职高学生解题的思辨能力：一是重视方法起源，投石问路，加快思维进度;二是把握教学主线，倡导变式训练，控制思维梯度;三是优化教学手段，串联相近知识，提升思维强度;四是分析问题本质更新解题方法，提升思维高度;五是关注学生成果，提倡一题多解，拓展职高学生的思维宽度。在教学实践中，这些方法收到了很好的效果。

关键词：思维方法变式 多维度 职高 解题

人的智慧是以思维力为核心的智力整体结构，而数学是思维的科学，因数学又被称为“内心科学”。数学教学由传授知识的单一性作用转向教学功效的多元化作用，因此数学教学既是数学知识的教学，也是数学思维方式的教学。在教会职高学生数学知识的同时，更要让他们知道知识是如何发生、获取和应用的。为了让更多的学生认识数学本质并完成知识建构，逐步理解数学思维方法，建立科学的思维方式，养成对事物进行理性思考的习惯，从根本上提高学习能力，教师首先要从职高学生的实际出发，营造出一个高度和谐的课堂;精心整合教学素材，打造高效低耗的课堂教学。这样，在化解职高学生与教材矛盾的同时，促进了思维的全面提升，必将开启一段启迪智慧之旅。

职高学生是职高教学的主体。认识活动能否完成，要以学生认识成效为依据。教必须落实到学上，要让学生真正成为学习的主人，有学习的自主权，使学生主动地学习，探索新知识，发展新见解，从而达到真正自主的学习。在数学教学过程中，受时间、进度、精力所限，许多教师只顾自己，不理学生，只讲方法，不管原因，只讲结论，不谈过程，导致许多职高学生对数学学习有一种恐惧心理和畏难情绪。为了营造出一个高度和谐的课堂，必须从职高学生的实际出发，实实在在地了解他们知道些什么、知道得是否全面、还有哪些方式、方法是模糊不清的。所以，在数学教学中，我们要尽可能地关注学生的动态，通过心灵沟通去打动和影响他们;尽量全面揭示数学问题的实质，将枯燥的数学学习变得生动有趣;努力创设学生熟悉、擅长的情境，重视知识产生和发展的过程，让数学不再神秘莫测，而是可亲可近的，更多地关注数学思维对学生的熏陶以及学生素养的提高。如果我们掌握了解决数学问题的思维方法，就能得出生动的结论，数学就能显示出其无穷的魅力。唯有这样，我们的学生才能“亲其师，信其道，笃其行”。

一、维度一：重视方法起源，开展投石问路，加快思维进度

作为人类认识世界、改造世界的重要工具之一的数学，它的基础知识和基本技能是十分重要的。从数学的发展历程中，我们应该给自己设置几个疑问：问题是怎样提出的，概念是怎样形成的，结论是怎样探索和猜测到的，以及证明的思路和计算的想法是怎样形成的。这样，学生在教师的引导下，以学习主人的心态了解、参与数学知识的发生过程、思维的展开过程，改变被动学习、机械训练的状况，发挥学生的主体性，以此来加快他们思维完善的进度。

案例1 函数y=（x2+ax+1）1/2定义域为R，求a的取值范围。

第一次面对这样的题，大部分职高学生无从

下手。

台阶1：此时教师把问题改成方程x2+ax+1=0何时有两解？何时有一解？何时无解？

学生：根据二次方程根的判别式：△>0时有两解;△=0时有一解;△<0时无解。

台阶2：函数y=x2+ax+1整个图像都在x轴的上方，试求a的取值范围。

學生1：与x轴无交点。

学生2：△>0。

学生3：不对，应该是△<0。

教师：△>0时图像与x轴有几个交点？△<0时图像与x轴有几个交点？

台阶3：不等式x2+ax+1≥0的解集为R，试求a的取值范围。

学生3：很简单，△≤0。

问题：函数y=（x2+ax+1）1/2的定义域为R，求a的取值范围。

学生1：不等式x2+ax+1≥0的解集为R，所以△≤0。

学生2：以上所有问题的关键是△，就叫判别式法吧。

评析：学生无法下手解决的问题，大多数是因为读不懂题目，不明白题目所表达的意图，那么，试探法无疑是拨开云雾，厘清思路的最有效办法。通过引导学生去寻找判别式法的发源地，学生能够身临其境地体验它的诞生和应用，为今后的灵活运用打下了坚实的基础。

数学教学应让学生在获得知识的过程中，逐步形成科学的思维方式，培养学生认真求实，追求效率的学习态度和习惯。这种（判别式法）来源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点在课堂中很自然地得以体现，数学教师也能成为学生心目中的哲学家。

二、维度二：依据教学内容，创设变式训练，把控思维梯度

在职高数学教学中，不要求教学内容非常严谨，但是解题方法必须是严谨的。课堂教学的本质是提升学生思维的活跃度。在课堂教学中，教师在教学过程中适时变动一些教学内容，创设一些变式练习，让学生在变式中思辨，哪些问题是形式在改变，而问题的实质没有变;哪些问题是问题的形式没有变化，而问题的实质发生了根本变化。在变和不变中，引导学生思辨问题的本质，参透知识的关联性。当然，教师创设问题时，必须依据学生的实际情况，把握思维的梯度，台阶不能太高，也不能太低。尤其是不能让学生有跳跃感，适度提升问题的难度，形成合理的知识迁移，有效地控制教学的思维梯度，从而拓展学生的思维深度。

案例2 在交、并集的运算讲解时，教师首先采用简单数集的交并集的求法。如：A={1，2，3}，B={3，4，5}，求A∩B以及A∪B。学生们也深刻理解了交集与并集的概念。

为了提升思维的深度，教师安排了以下几个问题：

变式1：集合A=（1，3），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

变式2：集合A=（1，+∞），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

变式3：集合A=（1，+∞），B=（2，+∞），求A∩B以及A∪B;

变式4：集合A=（1，+∞），B=（-∞，4），求A∩B以及A∪B;

评析：以上变式的学习，可以使学生对概念的理解逐渐加深，问题由浅入深地发生变化，但解决问题的方法和思路没变。这就强化了学生对这一问题的认识。这类问题的解答，树立的是学生的信心，增强的是学生的勇气，获得的是成功的喜悦。

所谓一堂课的质量，不仅仅是看教学方法、教学形式和教学手段的展现，更主要的是看课堂的思维容量的大小，学生思维密度和强度如何。也就是说，要对课堂教学怎样精心设计和科学安排，对于较难的问题，在教学时有意识地将其分解，通过解题训练培养学生的自信心，让学生体验学习成功的快乐，然后再慢慢引申，循序渐进地引导学生寻找条件和结论之间的联系，展示知识发生、发展的过程。笔者坚信，只要这样坚持下去，学生明白了知识的来龙去脉，就会记得牢，用得准，就能实现由懂到会，由会到掌握，由掌握到灵活运用的飞跃。

三、维度三：优化教学手段，串联相近知识，提升思维高度

波利亚认为：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里得方法提出来的数学看起来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看起来却像是一门实验性的归纳科学。”编织知识网络，寻找所学内容主线，在主线的引导下，以全新的逻辑链和职高学生的思维链将原来的知识重新梳理与整合，挖掘知识的内在联系。在教学中要做到，串点为线，聚线为面，面中显点，以点带面。

教学的方法对于学生来说是很重要的。在教学过程中，教师要合理地选用一些教学手段，使得一些相互联系的知识点串联在一起，既可以复习旧知识，又可以习得解决问题的方法和形成解决此类问题的思维模式。在知识的差异变化中，分辨自己存在的错误。知识在思辨中形成，解决问题的能力在思辨中提升。

案例3：在三角函数结束后，根据职高学生的实际情况，为了串联相近知识，教师编写如下问题。求下列各式的值：

1.2sin15°cos15°2.cos15°cos15°

3.cos20°cos40°cos80°4.sin15°+cos15°

5. sin15°+cos15°

这一组练习基本采用的是配凑法，通过乘一个数，除一个数，把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式、两角和的余弦公式都串联在一起，使学生有了对三角公式的充分理解。

评析：由于教学内容在编排上有层次性，难度上有梯度性，同时在课堂教学中，留出大量的时间让学生参与教学活动，让他们动手动脑，主动探索，自己发现规律并归纳结论。这样灵活多样的教学方法，教学效果令人满意。所以，教师应当把握教学的主线，做到泾渭分明，讲究知识之间的联系，帮助学生建立一个良好的认知结构。如果说，没有系统的知识，好比一盘散落的珍珠，无从下手，那么良好结构的知识就像一串精美的珍珠项链，排列有序，用一颗就能戴起整串。

这种利用相近知识点来解答同一道习题的教学手段，不仅可以有效地巩固学生的知识基础，更可以通过这种教学手段来强化教学的强度。在职高学生可以接受的程度之下适当地提高教学的强度，不仅能够有效地提高学生的上课积极性，激发学生的学习热情，还可以使学生在这种强度较高的教学中提高自身的思维强度。

四、维度四：分析问题本质，更新解题方法，提升思维高度

职高学生在解决数学问题时，通常显得反应迟钝或无助，很大一个原因是方法理解得不够到位，导致知识不能灵活运用。其实，认知是要有一个曲折的过程，要尊重学生的认知特点，发扬民主，认真倾听学生的观点，关注学生思维的火花，同时注意艺术性地引导启发，适时介入学生的探究活动，调整他们的思维方向，让学生不断更新对知识的理解程度，切实提高思维能力，提升他们的思维高度。

案例4：方程x2sina+y2cosa=1。试讨论0°≤a≤

360°方程所表示的曲线。

当这样的问题一呈现，大部分学生会停留在椭圆的层面上。

教师：a=210°时，sina=？cosa=？那么方程表示什么曲线。

学生：方程不表示任何图形。

教师：那我们选一些特殊角来分析。

让学生讨论：根据0°≤a≤360°范围可选哪些特殊角来代表？学生讨论分析得出以下情况：

1.a=0°，sina=0、cosa=1，y=±1方程表示两条直线;

2.a=30°，sina=、cosa=，方程表示椭圆;

3.a=90°，sina=1、cosa=0，x=±1方程表示两条直线;

4.a=120°，sina=？、cosa=？，方程表示双曲线;

……

评析：学生從第一象限到第四象限，从x轴的正半轴到y轴的负半轴，认真分析、归纳。在此过程中知识从直线、椭圆到双曲线，方法从特殊值法到一般法，思维从具体到抽象。通过这样的辨析和反思，更新解题方法，学生的思维能力得到了很大的提高。

我们常说，学一门手艺很重要，但换一种思维更重要。面对纷繁复杂的世界，我们必须要敢于打破挡在自己面前的这扇门，及时改变自己，用思辨的眼光去看问题，提高自己对问题的解决能力。在夯实职高学生基础的同时，又不断刷新思维高度。这样，数学教师也能成为学生心目中的建筑学家。

五、维度五：关注职高学生的成果，提倡一题多解，拓展职高学生的思维

注重思维多元化，提倡一题多解，对于同一题目，用不同的方法来解决。在解决问题的过程中，学生习得了职高数学的相关知识，更习得了数学的一些方法;形成了自己架构的知识网络，对所学知识起到了一个融会贯通的作用;提高了学生综合运用数学知识与驾驭数学知识的能力，使知识结构更加完善。一题多解还可以提高自我验算的能力，一题多解是多角度思考分析，使用多种解法，殊途同归，答案是相同的，可以用一题多解来判断原来的解法是否正确。一题多解还可以提高学生灵活运用知识、灵活转换角度来解题的能力，可以张开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔。这大大有利于培养学生的创造性思维。

案例5：有5名学生站在一起照相，甲、乙两位同学不能站在一起，共有多少张不同的照片。

学生提高了以下两种解法。

解法一：（插空法）由于甲、乙不能站一起，先把其他3名学生排定，再把甲、乙排在其他3人的中间。根据方法可得：3×2×1×4×3=72种。

解法二：（剔除法）5名学生，没有任何要求的排法为：5×4×3×2×1=120种。甲、乙两人站在一起的排法种数为：2×4×3×2×1=48种。总的排法减去不符合要求的排法：120-48=72种。

评析：教师对以上解法进行较详细的评价，并提出总结此种类型题目的方法，让学生能通过总结，实现用同一题目引导学生转换视角，根据题目变化的需要适当进行选择。这种一题多法的变式训练有助于学生掌握这种方法的特点，拓展他们在解决放缩问题上的思维角度，将所学的知识纵向加深，横向沟通，寻求不同的解法，将灵活运用知识的能力体现得淋漓尽致。这不仅提高了学生对数学的认识，增强了他们的思辨能力，提升了他们分析问题和解决问题的能力，更为重要的是通过学生再研究的过程，使他们在体验的过程中提升自己，找到超越的快乐、发现的快乐。

数学教学不应局限于数学知识的获得和解题技巧的掌握，更重要的是数学能力的提升、数学思维的形成和职高学生健全人格的养成。所以在数学教学中，不仅要注重积极营造宽松、和谐、民主的师生活动氛围，还要注重内容的活泼多样，思维的层层深入。这就要求自己不能就题论题，而要善于变通，通过对典型问题进行详尽的剖析、变式，多维度揭示问题中蕴含的数学思想和方法，才能使学生对所学知识进行充分理解和掌握运用，进而提升他们的解题思辨力。

参考文献：

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[4]张涛.引导学生思考，发展核心素养[J].中学数学教学参考，2018（9）.

（作者单位：富阳区职业教育中心）