集大智慧，做小变式，再成大智慧
——《数列求和》教学设计与反思

湖南华容二中 胡启军

一、教学分析

1.教材分析。数列这一章是高中代数的重点内容之一，在历年高考试题中占有较大的比重，题型有选择题、填空题和解答题。本节课内容是常见的几种数列求和方法。此内容常以解答题的形式出现。

2.学情分析。学生已复习了等差等比数列求数列的通项,对于等差等比数列的求和已经有了较好的掌握,本节课主要是针对其他的几种特殊的数列求和。通过新旧知识的融合,将零散的知识点联系起来，帮助学生建构数列求和的完善知识体系。

二、教学目标

通过观察数列的通项式,根据不同数列的特征，灵活选用数列的求和方法,通过典型例题的选讲,使学生能达到举一反三,触类旁通的目的；通过以练为主的方式,调动学生的学习积极性,树立学生自信心；通过主动探索,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的理性和严谨。

三、教学方法

通过三个问题、三组变式,渗透数列求和的四种方法；运用变式教学确保学生参与教学活动的持续热情,培养学生思维的广阔性、深刻性、创造性。使学生做到每做一道题,解决一种题型,复习一系列知识，掌握一两个规律。

四、教学过程

（一）知识要点

（2）分组求和法：直接运用公式法求和有困难,若将这类数列适当拆开,可以分成几个等差、等比或常见的数列,先运用公式法分别求和,然后再合并。

（3）倒序相加法：在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列求和公式的推导方法）。

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法将其和转化为一个新的等比数列的和，然后求解。

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“拆成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和。

（二）方法回顾

例1 （1）等差数列{an}中,an=2n-1,则数列{an}的前n项和为__________；（2）数列的前n项和为________ ；（3）数列的前n项和为______________。

归纳：数列通项an的特点。设计意图：遇新题,忆旧题,多思考，善联想，多变换，找规律；既加大课堂容量,又培养学生的应变能力和创造性思维能力。

归纳：数列通项an的特点。

设计意图：通过例题所提供的结构特点,鼓励、引导学生大胆地猜想,以培养学生的发散思维。

设计意图：通过一题多思,一题多变，横向联想,不仅提高学生运用所学知识解决数学问题的能力,而且发展学生的求异思维。

归纳推广：若数列｛an｝为等差数列，公差为d,则=____________________。

设计意图：有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通。

归纳：数列通项an的特点。

设计意图：根据学生的实际，适当降低错位相减法的难度要求,关注学生的数学学习情感,树立学生自信心,提高学习兴趣、激发学习动机。

小结：数列求和的方法包括：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）裂项相消法；（4）错位相减法。

设计意图：引导学生归纳数列求和的方法及通项特点,使学生明确了本节课的学习目的,又实现了自我反馈。

（三）巩固演练

1.已知数列{an}是等差数列,且是数列{an}的前n项和。（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（2）若数列{}满足，且Tn是数列{}的前n项和，求与 Tn；（3）若，求数列｛Kn｝的前n项和。

2.设数列{an}的前n项和为Sn,且为等差数列,且（1）求数列{an}和{}通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn。

五、反思与评析

1.反思。变式教学在课堂上展示知识发生、发展、形成的完整认知过程,形成“问题、变式、反思、体验”教学模式,让学生在无穷的变化中体会学习数学的快乐,有利于培养学生探索问题的能力。

2.评析。张景中数学家提出“改造数学使之更适宜于教学和学习,是教育数学为自己提出的任务。”本节课教学设计通过一题多思、一题多变、横向联想,不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力,而且发展了学生的求异思维；有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,可以帮助学生使所学的知识点融会贯通。