例谈多面体外接球半径的常见求法

湖北省荆州市沙市第五中学 张胜言

方法：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解。

定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

一、长方体、正方体外接球的半径

1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为a,b,c，外接球半径为r，则（如图1）。

图1

图2

二、三棱柱外接球半径

1.底面是直角三角形的直三棱柱

把三棱柱补成长方体，易求（如图3）。设底面三角形两直角边长分别为a,b，直三棱柱高为c，则外接球半径为r，则

图3

图4

2.正三棱柱

如图4，正三棱柱球心O在两底面中心O1,O2的中点处，设底面边长为a，高为h，外接球半径为r，构造Rt△A1OO1，则

三、三棱锥外接球半径

1.三条棱互相垂直的三棱锥

如图5，把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求。

2.三组相对棱分别相等的三棱锥

图7

3.正四面体

例题1 如图7，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，FA折成一个三棱锥B-AEF（使点B,C,D重合于点B），则三棱锥B-AEF的外接球半径为________。

图8