解析几何常见定点问题的分类例析

定点问题是解析几何考查重点，也是近年来高考命题的热点.此类问题常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，考查直线与圆、圆锥曲线、直线和圆锥曲线位置关系等相关知识，命题具有综合性强、难度大、运算量大的特点，其中蕴含着化归与转化、函数和方程等很多数学思想方法.

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量与未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量与未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲線系来解决.但是定点问题类型很多，方法技巧也很杂，下面选择解析几何中的常见定点问题的经典案例加以分类阐述.

一、直线过定点问题

例1 已知A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，且α+β=π4时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.

二、圆过定点问题

例3 平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：x24+y21=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值;

（2）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论.

当然，定点问题也还有很多其他的类型，上述案例可能不能全部囊括，然而其求解方法应该都加以了阐述.特别要强调的是，当直线方程或者一些条件难以化简时，要想到首先运用特殊法，找到定点，然后加以证明，以达到简化运算的目的.

（作者：范习昱，镇江市丹徒高级中学）