PID控制器参数整定复杂性的分析

严刚峰

(成都大学 信息科学与工程学院, 四川 成都 610106)

0 引 言

PID控制是比例(Proportion,P)、积分(Integral,I)、微分(Differential,D)控制的简称，它利用系统的误差、误差的微分和积分信号共同来构成控制规律，对被控系统进行调节，具有实现方便、成本低、效果好、适用范围广等优点，因而在实际控制工程中得到了广泛的应用.目前，尽管各类先进控制理论与方法层出不穷，通过被控对象建模，设计先进的控制算法可以得到很好的控制效果[1-2]，但PID控制器在实际工程控制应用中所占的比例仍高于85%，这主要是因为对实际工程控制系统而言，控制对象的数学模型一般难以建立，其参数一般也会发生变化，若应用先进控制理论的方法来调节系统，往往需要付出很大的代价，所以考虑控制系统设计与实现的成本要求，实际工程控制应用往往还是采用PID控制器.

PID控制器研究的重点主要是关于PID控制器参数整定方法的研究[3-9].例如，杨彬彬等[10]对特定控制系统采用了分区的PID控制方法，根据控制系统的动态性能评价指标，提出了采用二分查找法和插值查找法的复合参数整定方法，实现了常规PID控制器参数整定难以完成的情形；张丽香等[11]针对工业生产中存在大延迟特性的系统及存在不稳定特性的开环系统，采用二自由度模型来调整PID控制系统，可以通过PD补偿器将这种实际被控生产过程等效为带有延迟的一阶系统，得到的等效系统的时间常数远小于实际被控系统的时间常数，同时分析了系统的结构设计方法及参数整定原理，并将其应用到了实际的自动控制系统中；严刚峰等[12]结合遗传算法与模拟退火算法，将其应用于PID控制器参数的优化整定，得到了以误差最小的适应度函数为优化准则的最优参数.

实际上，以上研究大都是应用优化方法将复杂的PID控制器参数整定问题转化为非线性优化方法的特定应用问题.因此，深入理解PID控制器参数整定的复杂性对于选择和应用PID控制器具有重要意义.对此，本研究首先从理解PID控制器各部分运算的性质出发，给出各控制参数的物理意义，然后从引入PID控制器后对闭环系统特征根的分布及频率特性的影响来说明整定PID控制器参数的复杂性，最后采用常见的二阶被控对象，以PD控制器为例，从时域的角度绘制出比例参数，且当微分参数变化时来从对应超调量、上升时间和调节时间的三维曲线上直观理解PID控制器参数整定的非线性特点，对于合理选择和应用PID控制器具有一定的参考价值.

1 PID控制器的特点

1.1 PID控制器的特点

PID控制器的传递函数模型可表示为，

(1)

1)比例(P)控制规律.

具有比例运算规律的控制器，称为比例控制器，其传递函数为，

GP(s)=kP

(2)

式中，kP为比例参数.

比例控制器实质上是具有可调增益的放大器.比例控制信号存在的前提是控制器的输入信号偏差不为0，因此仅采用比例控制，系统必然存在余差.在信号变换过程中，比例控制器只改变信号的增益而不影响其相位.在串联校正中，加大控制器增益kP，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度.对于二阶被控系统，kP增大时，系统的时间常数和阻尼系数均会减小，表明通过调节比例控制，在提高稳态控制精度的同时，还可以加快瞬态响应速度，但根据系统的频率特性，可以清楚地看到，过大的kP会减小系统的稳定裕度，降低系统的相对稳定性，同时使系统的超调量增大，甚至可能造成闭环系统不稳定.因此，系统校正设计很少单独使用比例控制规律.

2)积分(I)控制规律.

具有积分运算规律的控制器，称为积分控制器，其传递函数为，

(3)

式中，kI为积分参数.

由于积分控制器的积分作用，当其输入消失后，输出信号有可能是不为0的常量.采用积分控制器，对于串联校正可以提高系统的型别，也就是无差度，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了1个位于原点的开环极点，使信号产生了90°的相角滞后，这种通过降低系统的快速性来获得高的稳态性能，对于系统的动态性能来说是不利的.因此，系统校正设计通常也不会采用单一的积分控制器.

3)微分(D)控制规律.

具有微分运算规律的控制器，称为微分控制器，其传递函数为，

GD(s)=kDs

(4)

式中，kD为微分参数.

微分控制规律由于能反映输入信号的变化趋势，在输入信号的值变得太大或太小之前，由于其敏感变化趋势而具有的预见性，可为系统引进有效的超前控制信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的动态性能.应当注意的是，微分运算对于噪声信号有放大作用，因此，系统校正设计也不能采用单一的微分控制器.

实际工程一般根据系统性能指标的要求采用比例(P)、积分(I)、微分(D)控制的组合形式构成控制器，比如常见的PI、PD和PID控制器.如何根据被控对象来合理整定参数kP、kI与kD，对于设计满足规定性能指标的PID控制器是至关重要的.

各参数对控制系统性能有非常复杂的影响，所以为了便于分析，本研究考虑单位负反馈系统，以式(5)所示的典型二阶被控对象的传递函数为例来探讨PID控制器参数整定的复杂性.

(5)

1.2 PID控制器参数对根轨迹的影响

以式(5)的被控对象为例，选用PID控制器，kI和kD分别取0到10，步长为1，以kP为参变量的系统根轨迹族如图1所示.

图1式(5)被控对象的单位负反馈PID控制根轨迹族图

由图1可知，kP、kI与kD的变化对系统极点的分布产生了很复杂的影响，引入微分作用相当于增加了开环零点，可以使根轨迹左移，有利于改善控制系统的稳定性及动态性能，而增加积分作用相当于增加了1个开环极点和1个开环零点，将使根轨迹向右移，降低了系统的稳定性，并且积分作用越强，系统越趋于不稳定.仅对根轨迹的定性分析就可知，合理整定kP、kI与kD的值来获得好的控制效果并非易事.即使结合期望闭环极点位置来选择kP、kI与kD的值，尽管可以保证系统的稳定性，但系统的动态控制性能还取决于极点对应分量的幅值，这与系统的闭环零点有关.总之，PID控制器参数整定过程是相当复杂的.

1.3 PID控制器参数对系统频率特性的影响

本研究通过PID控制器参数的选择，结合系统的开环频率特性对于闭环系统指定的动态和稳态性能指标改善的要求及时域性能指标与开环频率特性的关系来了解PID控制器参数对系统频率特性的影响.仍以式(5)的被控对象为例，PID控制器的对数幅频特性如图2所示.

图2 PID控制器的对数幅频特性

由图2可知，PID控制器可以视为对低频段和高频段都有提升效果的滤波器.本研究选择kP=12、kI=10与kD=2来分别讨论kP、kI与kD单独变化对控制性能的影响.

1)kP变化.

保持kI=10、kD=2，分别选择kP=12和kP=25，得到kP变化对系统频率特性的影响，如图3所示.

图3kP变化对系统频率特性的影响

由图3可知，kP增大时，控制作用增强，响应速度提高，恒值控制系统的最大偏差减小，余差也减少，但稳定裕量降低，稳定性恶化，振荡趋势增强.

2)kI变化.

保持kP=12、kD=2，分别选择kI=10和kI=20，得到kI变化对系统频率特性的影响，如图4所示.

图4kI变化对系统频率特性的影响

由图4可知，kI的增大会使系统的稳定裕量降低、稳定性下降、振荡趋势增强且动态性能变差.如果采用减小比例作用来补偿过强积分作用的不利影响，在保证稳定裕度不减小的情况下，系统的截止频率会降低，系统性能变差.

3)kD变化.

保持kP=12、kI=10，分别选择kD=2和kD=6，得到kD变化对系统频率特性的影响，如图5所示.

图5kD变化对系统频率特性的影响

由图5可知，kD增大时，稳定裕量增加，截止频率提高，系统的动态性能得到改善，超调量减少了，但调节时间增加.

频率特性的低频段体现了系统的稳态性能，中频段反映了系统的瞬态性能，而高频段表征系统的抗干扰能力，所以系统要获得满意的控制效果，就需要通过控制参数的整定使低频段具有较高的增益.中频段的幅频特性的曲线斜率接近-20 dB/Dec，占据有一定宽度，且具有较高的截止频率，而高频段具有较大的负斜率.

系统的开环传递函数为，

(6)

1.4 控制参数的选择对系统控制性能影响的时域演示

通过前面的分析可知，较好地整定控制参数不是一件容易的事情，而在实际控制工程中，被控对象的数学模型一般是不能被精确取得的，因此，对PID控制器的参数整定会变得更加复杂.

本研究通过时域求解，给出了控制参数变化而导致系统控制性能改变的复杂关系的直观演示.以PD控制为例，kP和kD连续变化对超调量Mp、上升时间Tr和调节时间Ts的影响分别如图6、图7与图8所示.对于上升时间Tr，本研究定义为单位阶跃响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需要的时间.调节时间Ts，本研究使用的是在单位阶跃响应曲线的稳态值附近，取±2%作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带的最小时间.总之，图6、图7与图8直观展示了控制参数变化对系统性能影响的复杂性.

图6 PD控制器中kP和kD变化对超调量Mp的影响

图7 PD控制器中kP和kD变化对上升时间Tr的影响

图8 PD控制器中kP和kD变化对调节时间Ts的影响

2 讨 论

尽管PID控制器的各部分运算功能易于理解，但组合成PI、PD和PID控制器后系统性能的调节就变得相当复杂，这从PID控制器的参数对根轨迹和频率特性的影响可以看出，主要是因为kP、kI与kD对控制性能的改善是相互影响的，所呈现的是复杂的非线性关系.事实上，PI、PD和PID控制器在使用中都存在一些局限.

PI控制器中的积分环节可以改善系统的稳态性能，使开环传递函数中没有积分环节的系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差为0.但是，对于开环传递函数中有1个积分环节的系统，可能会引起稳定方面的问题，而对于开环传递函数中有2个积分环节的系统，则不宜再增加积分环节，否则系统将不稳定.

PD控制器可以改善系统的动态性能，但是PD控制器中的微分环节属于理想模型，很难实现.从频率特性来看，对高频段的无限提升在实际应用中是不可能实现的.任何实际装置的频率特性在高频段总会下降.另一方面，控制系统采用PD校正的目的是为了改善中频段的性质，也就是截止频率附近的特性，并不希望提升高频段的增益，因为高频段的增益过高容易使控制器受到高频噪声信号的影响.

PID控制器的设计需要使用基本概念，在估算的基础上，经过若干次尝试达到设计的目的.在设计过程中，仿真方法的应用会带来指导性的帮助.不同的控制系统对性能指标要求也不同，如恒值控制系统对稳定性和稳态精度要求很高，而随动系统则对快速性期望较高.在制定指标时，一方面要做到有所侧重，另一方面还要切合实际，能达到系统正常工作的要求即可，不应追求不切实际的高性能指标.