与三角函数交汇的导数压轴题的解法探究

广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

导数问题是压轴题的常客,也是整套试题中的重头戏,是最具区分度的亮丽风景所在.因此,如何破解导数压轴题是教师和学生面临的一大难题.笔者发现,随着高考命题的深入开展,导数压轴题的命制并没有走入桎梏,反而涌现出越来越多的经典题型,极大地丰富了数学教学的素材,对培养学生的综合能力也起到不可估量的作用.

如近几年就兴起了一类与三角函数交汇的导数压轴题,这类试题可谓多姿多彩,常考常新.由于表达式中含有三角函数的函数的无论怎么求导函数,都会出现含三角函数的较为复杂的函数表达式,因此对问题的后续处理较为困难.据此,笔者通过对近年来的几类与三角函数交汇的导数压轴题的分析,探究出此类问题的解题策略,以期抛砖引玉,现分析如下,供大家参考并斧正.

一、利用洛必达法则或导数的定义

含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数,然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题,也是一大处理策略.但有些试题,在分离参数后,得出函数的单调性后,最值不存在,上界或下界却存在,但却难于直接求解处理,此时,洛必达法则可派上用场.

例1 (2014年高考北京卷理科)已知函数f(x)=

(1)求证：f(x)≤0;

解析(1)因为f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤ 0,所 以f(x)在上单调递减,所以f(x)≤f(0)=0×cos 0-sin 0=0,即f(x)≤0 得证.

点评本题的参考答案用的是较为复杂的分类讨论的方法进行求解的,能顺利完成解答的学生不多.本解法运用了学生较为喜欢的分离参数方法,难点在于得出函数在单调递减后,函数g(x)在x=0 时的极限值的求解,本文使用了洛必达法则或导数的定义,成功地解决了极限值的求解,且整个解答过程极为简洁,无疑是一种值得推广的好方法!

二、利用函数的有界性

有界性是很多函数的一大特性,在导数问题中,含参数的不等式恒成立问题是一大热点,除了分离参数外,分类讨论思想是这类问题的一大利器,但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中,若能有效地利用三角函数的有界性,则能实现快速找到分论讨论的依据,从而实现问题的求解.

例2 (云南省弥勒市2015 届模拟测试理科)已知函数f(x)=exsinx.

(1)求函数f(x)的单调区间;

解析(1)因为f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+令f′(x)＞0 得,令f′(x)＜0 得,故函数f(x)的单调递增区间为故函数f(x)的单调递增区间为

(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,即g(x)≥0 恒成立,而g′(x)=exsinx+excosx-k=ex(sinx+cosx)-k.设h(x)=ex(sinx+cosx),所以h′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.因为所以h′(x)≥0,所以h(x)在上单调递增,所以1 ≤h(x)≤

①当k≤1 时,g′(x)≥0,g(x)在上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,符合题意;

②当k≥时,g′(x)≤0,g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,不合题意;

③当1＜k＜时,因为g′(x)为一个单调递增函数,而g′(0)=1-k＜0,由零点存在定理知,必存在唯一一个零点x0,使得g(x0)=0.所以x ∈[0,x0)时,g′(x)＜0,从而g(x)在[0,x0)上单调递减,从而g(x)≤g(0)=0,不合题意.

综上所述,k的取值范围为(-∞,1].

点评本题第二问通过多次求导,从而可确定h(x)的取值范围.在进行分类讨论时,借助h(x)的有界性得以确立分类讨论的依据,从而获得问题的成功求解.在不等式恒成立问题的讨论过程中,对不合题意的参数可用矛盾推翻之.有界性是分类讨论的重要依据,要引起足够的重视.

三、利用隔离直线

对于较为复杂的函数,如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时,如能通过等价转化,并进行适当的变形,转化为两个函数来处理,问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离,这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线,然后再构造两个差函数,问题往往能迎刃而解.

例3 (2016年东北三省四市教研联合体试题理科)已知函数f(x)=e1-xcosx.

(1)判断函数f(x)在上的单调性;

解析(1)略;

(2)因为f(-x-1)=ex+2cos(-x-1)=ex+2cos(x+1).而2f′(x)·cos(x+1)=-2e1-x(sinx+cosx)·cos(x+1),对于∀x ∈cos(x+1)＞0.故要证明原不等式,只要证ex+2-2e1-x(sinx+cosx)＞0.

故当x ∈时,g′(x)≤0,当时,g′(x)＞0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增.所以g(x)≥g即e2x+1-2x-2 ≥0,故e2x+1≥2x+2 得证.

由①、②,结合不等式取等条件不一致知,对于∀x ∈不等式ex+2-2e1-x(sinx+cosx)＞0 恒成立.所以对于∀x ∈总有f(-x-1)+2f′(x)·cos(x+1)＞0.

点评本题在证明过程中,成功地使用了两个函数的隔离直线,这条隔离直线y=2x+2 的寻找是解题的关键.在找寻过程中使用了课本中的一个重要题根ex≥x+1 的变式e2x+1≥2x+2.这体现出命题者源于课本而高于课本的原则.通过隔离直线,所需构造的两个差函数便呼之欲出,整个解题过程极为流畅,是一种重要的解题策略.

四、利用设而不求

在高中数学中,“设而不求”是非常重要的一种数学思想,这种思想方法是在解题过程中,由于要使用到某个方程的根,但由于这个根无法求出,或虽可求出但却不直接求出,而是通过设出未知数,并借助一定的手段进行消元或代换的一种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现,这种思想方法主要应用在导数与解析几何中.

例4 (2015年高考湖南卷理科)已知a＞0,函数f(x)=eaxsinx(x ∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n ∈N∗)个极值点.证明：

(1)数列{f(xn)}为等比数列;

解析(1)因为

f(xn)=ea(nπ-φ)sin(nπ-φ)=(-1)n+1ea(nπ-φ)sinφ,易知f(xn)0,所以故数列{f(xn)}为等比数列.

(2)由(1)知,sinφ=于是对一切n ∈N∗,xn＜|f(xn)|恒成立等价于

恒成立,因为a＞0,故等价于

恒成立.设g(t)=则令g′(t)=0,得t=1.当t ∈(0,1)时,g′(t)＜0,g(t)单调递减; 当t ∈(1,+∞)时,g′(t)＞0,g(t)单调递增.从而g(t)≥g(1)=e,故只需证

而当a=时,由且知,于是且当n≥2 时,nπ-φ≥2π-φ＞因此对于一切n ∈N∗,axn=所以g(axn)＞g(1)=e=即不等式成立.综上所述,若则对一切n ∈N∗,xn＜|f(xn)|恒成立.

点评导数零点不可求问题是近几年高考的热点问题,对这个零点的处理,常见的做法是设而不求.本题与三角函数交汇,问题处理起来更加棘手.本题的关键是在使用辅助角公式时对φ设而不求化为f′(x)=从而用φ表示出数列{f(xn)},并最终证明出其是等比数列,第二问更是把设而不求的思想发挥得淋漓尽致,并通过把nπ-φ实施换元处理,然后构造函数结合放缩法使问题得到彻底的解决,整个过程构思灵巧,对数学的综合能力要求较高.

五、利用不等式的性质

导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态,与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此,如何利用不等式的性质是关键.对涉及绝对值的不等式问题,三角不等式是解题的利器.我们现在来看下列这道2016年全国卷的一道典型考题.

例5 (2016年高考全国卷III 理科)设函数f(x)=acos 2x+(a-1)(cosx+1),其中a＞0,记|f(x)|的最大值为A.

(1)求f′(x); (2)求A; (3)证明|f′(x)|≤2A.

解析(1)f′(x)=-asin 2x-(a-1)sinx;

(2)当a≥1 时,|f(x)|=|acos 2x+(a-1)(cosx+1)|≤a+2(a-1)=3a-2=f(0),因 此A=3a-2; 当0＜a＜1 时,f(x)=acos 2x+(a-1)(cosx+1)=2acos2x+(a-1)cosx-1,令g(t)=2at2+(a-1)t-1,则A为|g(t)|在[-1,1]上的最大值.又g(-1)=a,g(1)=3a-2,令结合0＜a＜1,得

① 当0＜a≤时,g(t)在[-1,1]上无极值点,且|g(-1)|=a,|g(1)|=|3a-2|=2-3a,此时有|g(-1)|＜|g(1)|,所以A=2-3a.

(3)由(1)知|f′(x)|=|-asin 2x-(a-1)sinx|≤2a+|a-1|.

① 当0＜a≤时,|f′(x)|≤1+a≤2-4a＜2(2-3a)=2A;

③当a≥1 时,|f′(x)|≤3a-1 ≤6a-4=2A.

综上所述,|f′(x)|≤2A得证.

点评本题第二问和第三问均使用了三角不等式,使得问题的处理难度大幅降低,对含有绝对值的不等式问题,不妨考虑利用不等式的这个性质,由于本题涉及到三角函数,三角函数的有界性也在解题中有重要的应用.本题还使用了基本不等式,使得这道题更具有立体感,体现出高考在知识的交汇处命题的思路.

通过以上的分析,我们发现,与三角函数交汇的导数问题综合度较高,方法多姿多彩,并具有一定的难度.但只要我们找到合适的切入点,合理使用一些相应的数学技巧,问题就能得到较好的解决.教师在平时的教学中,也应多做一些研究,并对一些热点问题进行总结,以提高数学习题教学的高效性,同时也使教师的技能得到提高.