扩散方程九点格式中节点未知量的一种新的插值算法

董 成,邬吉明

(1.中国工程物理研究院研究生院,北京 100088)

(2.北京应用物理与计算数学研究所,北京 100088)

1 引言

考虑扩散方程边值问题

其中Ω⊂R2是平面上的多边形区域,Λ是扩散张量,f是源项,∂Ω=¯ΓD∪¯ΓN是Ω的边界,n为单位外法向量,gD和gN分别是Dirichlet和Neumann边值.

上述扩散问题有着广泛的实际应用背景,例如在辐射流体力学、辐射磁流体力学、油藏模拟等应用中,扩散过程与其他物理过程相耦合.我们常常需要在网格强扭曲、强间断、强各项异性、强非线性等极端条件下求解扩散方程,这是一件具有挑战性的工作.有限体积方法是求解扩散问题最常用的方法之一,它具有局部守恒、简单容易实现等良好性质.多年来,许多科研工作者致力于扩散方程的有限体积方法研究,提出了众多的离散格式,如九点格式(NPS)[1]、多点通量逼近格式(MPFA)[2]、支撑算子格式[3]、广义差分格式[4]等.按照未知量的类型,这些格式可大致分为单元中心格式、节点格式、杂交格式、混合格式等等,详细的最新研究进展可参见文献[5–9].

我国学者李德元教授等人在二维网格上基于积分插值法构造了一个单元中心型有限体积格式[1],由于该格式在结构四边形网格上有九点模板,故常称其为九点格式,它是若干辐射流体力学程序的基本格式[10,11].由于单元中心格式在一个单元上只有一个未知量,在构造离散格式时需要引入辅助未知量来提高精度.九点格式的辅助未知量定义在网格节点处,如何用单元中心未知量逼近节……