BSDE在跳框架下的风险敏感控制问题中的应用

李春丽

(冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室(武汉科技大学),湖北武汉 430081)

(武汉科技大学理学院,湖北武汉 430065)

1 引言和预备知识

风险敏感控制是随机最优控制问题的一个重要研究主题.1990年左右,Whittle[1]提出风险敏感控制准则,用以解决最优风险投资问题.此准则既体现了投资者对随机资产的关注,也通过一个风险敏感参数θ(θ∈R{0})体现了投资者对承担风险的态度.下面简单介绍一下风险敏感控制问题.设h=(ht)0≤t≤T是时间段[0,T]上的某控制过程,是某可控随机系统,J是与联系的某种随机准则,J的常见形式为

其中L称为运行费用函数,g称为终值费用函数.所谓的风险敏感控制问题,即指在可行性控制集H中选择一个最优策略h,使得下面的效用函数达到最小:,相应的最小值u(x,θ)称为值函数,即,若存在可行性控制h=ˆh,使得u(x,θ)=J(x,;θ),则称为最优控制.

自Whittle提出风险敏感控制准则之后,此准则被广泛应用于金融问题中.如Bielecki等[2]和Fleming等[3]分别在此准则下考虑了不同市场模型中的风险敏感投资管理问题.进一步,Kuroda和Nagai[4]考虑了因子市场模型中的遍历风险敏感控制问题;作为连续框架下风险敏感控制问题的推广,Davis和Lleo[5−6]考虑了跳扩散市场模型中的风险敏感控制问题.此外,还有很多关于这方面的工作,这里就不一一赘述了.

众所周知,研究最优控制问题的一个经典方法就是Bellman[7]提出的动态规划方法.此方法依赖于某二阶非线性偏微分方程,称之为Hamiltion-Jacobi-Bellman(简称HJB)方程.研究最优控制问题的另外一个有效……