FDTD方法在波动光学教学中的应用探索

周 权

(国防科技大学电子对抗学院 安徽 合肥 230037)

波动光学是大学光学课程的主体内容，其理论基础建立于经典电动力学的麦克斯韦方程；其教学内容涵盖了波动光学的基本概念、光波在介质中的传播、光波的干涉和衍射等基本理论和实际应用，内容体系完整，理论性强[1]；其教学过程一般包括理论讲授和实验验证.考虑到波动光学教学中理论概念较为抽象、物理场景不够直观且验证实验多数只能观察光波的宏观表现等问题，利用FDTD方法针对典型的波动光学物理情景进行仿真，以期通过精确动态的仿真结果帮助学生更直观地了解相关的物理概念，建立清晰的物理图像.文中以光波在介质中的传播、光波的典型干涉和光波的典型衍射3类现象为例,介绍了FDTD方法在波动光学教学中的应用探索.

1 FDTD方法及计算工具

1.1 FDTD方法

时域有限差分法 (FDTD,Finite-Difference Time-Domain)由K.S.Yee于1966年提出，也被称为Yee网格空间离散方法.FDTD算法的核心思想是将麦克斯韦方程在时间和空间上进行离散化，用差分方程替代一阶偏微分方程，求解差分方程组并得到各网格单元的场值.利用FDTD方法进行光场仿真时要考虑研究对象的几何参数、材料参数、计算精度、计算复杂度和计算稳定性等多项因素；其优点是可以计算得出光场分布，精度较高，并可通过傅里叶变换在一次计算中得到系统的宽带响应[2].

1.2 MEEP

MEEP(MIT Electromagnetic Equation Prop-agation)是由MIT开发的开源FDTD电磁场模拟软件，支持一维、二维和三维的场景结构仿真；可设置多种类型的材料参数、光源参数和边界条件；支持基于MPI的并行计算；可使用C++,Python和Scheme脚本等多个接口进行仿真条件设置[3].本文中的场景仿真均采用该软件进行计算.

2 应用场景案例

2.1 光波在介质中的传输

光波在介质中传输的场景结构设置如图1所示.仿真区域为二维结构，大小为10 μm×10 μm，网格精度设置为20 nm；Y方向顶部和底部均设置厚度为1 μm的完全匹配层，用来吸收到达该区域的光波，避免回波对仿真区域的影响；X方向依据入射光波矢设置周期性边界条件，以模拟X方向无约束的情况；下半部分深色区域设置为介质材料，材料折射率n=1.5，上半部分为真空，折射率n=1.0；根据入射方向不同，线光源位置分别设置于顶部和底部并用红色线段标出位置，二维场景中的线光源可等效为三维情况中的平面光源；光源类型为连续光，波长设为1 μm；通过设置光源各处的复振幅分布可以改变光源的等效入射方向θi.

(1)真空中的平行光波入射介质表面

仅在顶部真空区域放置线光源，其入射方向如图1中(a)所示，分别设置光源的等效入射角度θi为30°,45°和60°进行仿真，得到稳态时的电场强度分布情况，如图2所示.

图1 光波在介质中传输的场景结构示意图

图2 真空中的平行光波入射介质表面的电场强度分布

分析仿真结果可以发现：

1)图2中红色区域电场强度为正值，蓝色区域为负值；相邻的红蓝区域构成了一个完整的振动周期；沿着光源等效入射/出射方向测量，两个区域的长度约等于波长；光波在进入介质后，红蓝区域距离显著缩小，对应介质中的光波长的变化；若观察动态仿真结果，可以发现光波进入介质区域后扩展速度明显缩小，对应介质中光速的变化；

2)光波进入介质后，等幅面法线方向发生改变，对应光的折射现象；可以估算其折射角θo，符合折射定律;

3)由于入射光波和反射光波的相干叠加，区域上半部分的光场等幅面出现弯曲；而区域下半部分只有折射光，等幅面均匀平整.

(2)介质中的平行光波出射介质表面

在上述场景中仅改变光源位置，将其放置在介质材料内部，用来仿真平行光波由光密介质出射至光疏介质的情况.设置光源的等效入射角度分别为30°,45°和60°进行仿真，得到电场强度分布如图3所示.

分析仿真结果可以发现：

1)等效入射角θi=30°时，光场分布情况符合折射定律；

2)等效入射角θi=45°时，由于入射角大于介质的临界角(θc≈42°)，出现全反射现象.透射光场表现为隐失波，沿介质表面(X方向)传播，在纵向(Y方向)振幅呈指数衰减；

3)等效入射角θi=60°时，隐失波的穿透深度较θi=45°时进一步减小；

4)介质内光场分布由入射光和反射光相干叠加形成；全反射时光波被完全反射回原介质，入射光波和反射光波振幅相同，相干现象更为明显.

图3 介质中的平行光波出射介质表面的电场强度分布

2.2 光波的典型干涉现象

(1)两个点光源(狭缝)的干涉现象

两个点光源(狭缝)干涉的场景结构设置如图4所示.仿真区域为二维结构，大小为20 μm×20 μm，网格精度设置为20 nm；区域边缘处均设置厚度为1 μm的完全匹配层；区域中央部分设置两个连续光点光源；点光源位置由红色圆形标出，点光源间距为d；二维场景下的两个点光源可等效为三维场景中的两个线(狭缝)光源.

设置两个点光源的波长分别为0.5 μm和1 μm，间距d分别为2 μm,4 μm和6 μm，计算稳态时区域内的电场能量密度，仿真结果如图5所示.

图4 两个点光源(狭缝)干涉的场景结构示意图

图5 两个点光源(狭缝)干涉的电场能量密度分布

分析仿真结果可以发现：

1)达到稳态后，区域内电场能量密度呈稳定分布，在Y方向不同位置取平行于X轴各点处的能量密度值即可表征空间中不同截面的干涉图样；

2)相同波长条件下，随着点光源距离d的增加，干涉图样的亮斑(条纹)个数增加，间距减小；

3)两点光源间距相同时，干涉图样的亮斑(条纹)间距随波长减小而减小；

4)电场能量密度的亮条纹分布在远离点光源位置后斜率渐趋稳定，表明随着观察距离逐渐满足傍轴条件，干涉条纹分布逼近双孔(双缝)干涉条纹间距公式

其中Δx为条纹间距，λ为光波长，D为纵向距离，d为两点光源间距.

(2)两束平行光的干涉现象

两束平行光干涉的场景结构设置如图6所示.仿真区域为二维结构，大小为10 μm×10 μm，网格精度设置为20 nm；Y方向顶部和底部均设置厚度为1 μm的完全匹配层；X方向依据入射光波矢设置周期性边界条件，以模拟X方向无约束的情况；在区域顶部和底部红色线段标出的位置设置两个线光源，并通过调整光源各处的复振幅分布来设置光源的等效出射方向；光源类型为连续光；受周期性边界条件的限制，上下两个光源的等效出射方向是沿X轴镜像对称的，即θ1=θ2；二维线光源可以等效为三维场景中的平面光源.

图6 两束平行光干涉的场景结构示意图

设置光源波长分别为0.5 μm和1 μm，等效出射方向分别为30°,60°和90°，得到稳态时区域内的电场能量密度，如图7所示.

分析仿真结果可知：

1)稳态时区域内电场能量密度稳定分布，条纹样式平行于Z轴(纸面法线方向)分布；

2)相同波长条件下，随着两束平行光夹角的增加，条纹间距逐渐变小，θ1=θ2=90°时，条纹间距最小，符合两束平行光干涉的条纹间距公式

其中Δx为条纹间距，λ为光波长，θ1和θ2分别为两束平行光的入射角.

3)两束平行光夹角相同时，条纹间距随波长减小而减小，符合两束平行光干涉的条纹间距公式，如2)中所述.

图7 两束平行光波干涉的电场能量密度分布

2.3 光波的典型衍射现象

以单缝衍射为例进行介绍，其场景结构设置如图8所示.仿真区域为二维结构，大小为50 μm×50 μm，网格精度设置为20 nm；区域边缘处均设置厚度为1 μm的完全匹配层；区域下侧放置狭缝结构，结构高度1 μm，狭缝宽度为d；连续光线光源位于区域底部，由红色线段标出；光源发出平面光波正入射狭缝结构.

设置光源波长分别为0.5 μm和1 μm，狭缝宽度d分别为1 μm,2 μm和5 μm，得到稳态时区域内的电场能量密度如图9所示.

图8 单缝衍射的场景结构示意图

图9 单缝衍射的电场能量密度分布

分析仿真结果可以发现场分布具有以下特点：

1)平行光通过狭缝后发生衍射，衍射光以一定发散角向前传播；入射光波长相同时，随着狭缝宽度的增大，零级衍射光的发散程度逐渐减小，衍射效应变弱；狭缝宽度相同时，零级衍射光的发散程度随波长增加而增加，说明对于一定尺寸的微小结构，波长越长衍射效果越明显.上述关于零级衍射光发散程度的比较在趋势上符合单缝衍射主极强半角宽度反比公式

其中θ为主极强半角宽度，λ为光波长，a为狭缝宽度；

2)随着入射光波长的增大和狭缝宽度的增加，次级衍射光的级数随着波长和狭缝宽度增加而增多，其趋势符合狭缝衍射的次极大条件，但衍射光的能量分布主要集中在零级衍射中；

3)场景仿真结果是平行光入射单缝后衍射光的近场分布，而波动光学教学中常给出的夫琅禾费单缝衍射的分析结果要求远场条件，因此两者只宜作定性比较和参照.

3 结束语

以光波在介质中的传播、光波的典型干涉和光波的典型衍射3类物理场景为例，介绍了FDTD方法在波动光学教学中的应用.

FDTD方法能够对波动光学教学中大量的物理情景给出直观、精确和动态的仿真结果，可以帮助学生更深入地理解相关理论知识，构建清晰的物理图像；FDTD方法也广泛应用于介观光学、天线设计和生物探测等科研领域的数值仿真，教学过程中引入前沿科学的研究工具有助于培养学生良好的科研素养.