浅谈爱德华格林音程循环参数算法理论

在20世纪大量的音乐创作实践中，音乐创作者探索非传统的大小调功能和声体系成为了一种趋势。在这种发展浪潮中数理化逻辑的成分是前所未有的，其中诸如勋伯格的十二音序列作曲技法、斯特拉文斯基的轮转阵列、巴托克以及艾夫斯作品中的音程循环等结构方式。无疑作曲家们在更加理性地探索音高结构新的组织方式，同时当代的研究也需要更加科学的运算模型对诸多音高结构加以囊括。

近年来美国音乐理论家爱德华.格林的音程循环算法理论开拓了通过数学算法方式进行音程循环研究的新思路并为进一步的数理化分析奠定了基础。下文将分别从当代国内外音程循环研究现状以及总结性地对爱德华.格林的音程循环分类及其算法理论进行介绍两个方面进行论述。

一、音程循环国内外研究现状

有关音程循环的定义与分类理论，不同的研究学者给出的定义略有偏差。美国学者罗伊格·弗朗科利在《理解后调性音乐》一书中将音程循环定义为“一系列重复的、均等的音程连续”[1]，他指出了5種将八度均分的音程循环模式，即以音程i1表示半音，音程i2表示全音，音程i3表示小三度，音程i4表示大三度，音程i5表示纯四度，音程i6表示三全音，并由于音程的补集或转位产生的音程循环完全相同的原理，划分出了这5种循环模式 。[2]

这5种模式只涉及一种音程的循环，弗朗科利在此书中的研究没有涉及混合音程循环。

美国学者苏珊尼与安托克赖茨合著的《音乐和二十世纪的调性：以调式和音程循环为基础的和声进行》[4]，“将某一个单一音程循环中的每个相等截断的内部再分成两个或更多不均等的部分并称之为混合循环集（Compound Cycles Collection）”，这是一种建立在已有的单音程循环基础上的再划分的理论。同时，安托克赖茨发表于1984年的文章《20世纪音乐的调性续进巴托克的音乐》与1995年的文章《有机发展与音程循环关于巴托克op18的研究》[5]也涉及了音程循环的内容，但这些研究多首先考虑的是一些简单的单音程循环，并从这些单音程循环中抽象出全音音阶、半音阶等。双音程组合式的循环略带讨论，并主要是集中在一些重要的由双音程组合循环产生的诸如八声音阶与六声音阶为主。

美国学者莱姆贝尔以艾夫斯的音乐为研究对象，提出了由两个或更多音程交替而形成的组合循环模式，其文章主要是对艾夫斯的作品进行解读，对音程循环技法本身定义与内涵并未做过多的深入探讨。[6]

中国学者研究起步相对较晚，中国学者石磊在2014发表的文章《音程循环的理论与早期实践的研究》一文指出所谓音程循环是指“同一音程或一组音程经过一系列重复后又回到起点的过程，其结果是将八度进行均等或对称的划分”[7]，该定义与美国学者苏珊尼与安托克赖茨建立在单音程循环划分逻辑上的混合循环集表述相同。

另一位中国学者陈林在2014年的《复合音程循环的构成与技术特征研究》一文中指出“其按照一个恒定的、不相等的音程比产生音高材料的技术，称作复合音程循环。[8]”陈林在该论文中考虑到包含两个音程元素的循环结构，从有序音级音程的角度进行了研究。在这一点上，与石磊在单音程循环及其在单音程循环基础上的混合拆分的观念有所不同。那么综合来看，一般情况下，音程循环在采用有序音级音程（简写Ord.PCI）的角度进行研究，可以解决无序音级音程在产生两个以模12 为互补原则的双音问题（如PCI 4与8、PCI 5与7、三全音程PCI 6因将八度等分，产生的为同一音级）。

二、爱德华格林音程循环分类与算法

综合各种音程循环的相关理论来看，美国学者爱德华以有序音级音程为研究出发点，通过巴托克的部分音乐研究，提出了相关定义与分类[9]理论，尤其重要的是，爱德华提出了音程循环运算的相关公式，将音程循环分为单音程循环与混合音程循环两大类，并又将混合音程循环依据回归原始音高级的次数，再分为多重集群循环与非多重集群循环，如下文所述。

1、单音程循环定义与参数运算公式

爱德华将单音程循环（A simple interval cycle ）定义为以一个指定音高级开始循环出现的非0音程续进，同时爱德华指出单音程循环的循环长度即循环音数计算公式为：[10]“L=12/d ;d =GCD（12，x）;”

其中，L为Length的简写即长度，GCD代表最大公约数（Greatest Common Divisor），x为单音程循环的有序音级音程数值（简写为Ord.PCI），因此，d的值等于12与Ord.PCI的最大公约数。

如以Ord.PCI 2为例，d便等于12与2的最大公约数2，L便等于12/2=6。因此Ord.PCI 2产生的音程循环数为6，即全音阶。对于与12形成互质关系的Ord.PCI 1、3、5、7，因其最大公约数为1，因此便产生半音阶循环或五度循环。

2、混合音程循环定义与参数运算公式

爱德华定义混合音程循环（Compound Interval Cycle）为指定音高级开始的，循环出现的两个或多个音程组合。爱德华标记双音程循环为（x，y）-cycle。同时其给出双音程循环音数长度的计算公式为

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”，公式中SUM为求和值

如以（4，5）-cycle为例，该循环产生一个八声音阶，即以数字音级表示为“0 4 9 1 6 10 3 8 0”，其SUM=x+y=4+5=9;d=GCD（12，SUM）=（12，9）=3;L=2（12/d）=2（12/3）=8，符合8声音阶的定义。

对于三音程混合循环爱德华标记为（x，y，z）-cycle，同样给出了音数长度计算公式：

“L= 3（12/d）; d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y+z（mod12）。”

3、混合音程循环的再分类理论

爱德华在对混合音程循环的研究中，依据最终回归原始音高级的次数，又进行再分类。其中只需一次回归原始音高级就可以恢复最初的混合音程组合值的称之为非多重集群循环，如八声音阶、六声音阶、所有的梅西安有限移位模式等。

例如，以数字音高级列出八声音阶为：

Ord.PCI（1，2）即0 1 3 4 6 7 9 T 0

其中包含了一次由0音高级到0音高级的循环续进。因此，依据爱德华的理论，这是一个非多重集群循环，同样也可这样去验证六声音阶以及所有的梅西安有限移位模式。

而多重集群循环（Multi-Aggregate Cycles），是指那些以多音程混合循环的音程组，在循环的过程中所产生的多次回归原始循环点，并最终以原始音程循环组值到达起始点的现象。

如图1（4，3）-cycle，若以起始点C音看该循环，包含两次回归C音的运动，其最后一次回歸到了原始有序音级音程循环组值，即i4+i3。

同时，爱德华指出的混合音程循环中Ord.PCI的排列移动不会改变最终的结果，如Ord.PCI（2，2，1）与（1，2，2）或（2，1，2）[11]所构成的循环，见图2。图2中笔者以方括、尖头括与椭圆分别圈出了三种循环集群，它们在这三个多重集群循环中，永远都是方括——尖头括——椭圆括——方括的循环排列，因此为它们为同一多重集群循环。

综合来看，爱德华在区分非多重集群循环与多重集群循环时，是对起始音以原始组合值回归原点的次数上来进行区分，那么我们从另一个角度来看，所有的非多重集群循环也符合在单音程循环基础上进行复合拆分的逻辑。这与爱德华论述了任何混合音程循环组都能被简化成单音程循环的逻辑相符合。对于多重集群循环，如以有序音程<4，3>进行循环时，可以将其拆分成以其两个音程数为5的交错循环，爱德华给出了运算逻辑是将Ord.PCI4+3=7=SUM， 并进行MOD12（7）=5的运算。（见图3中用方框与圆圈进行的交错五度循环标注）

4、爱德华·格林多重集群循环矢量理念

多重集群循环的分散矢量理论是爱德华定义的另一个概念（Distribution Vector），其以尖括号标记这种多重集群循环中相同音高级回归音数的量，即图3中的7与17，其代表了循环中任意一音的回归音数，如上例以<7，17>表示，则任意音都会经历7与17个音数回归同一个音。

结语

综上所述由国内外相关的学术理论与研究文献来看，爱德华·格林的算法理论对音程循环进行了科学化的分类并提供了运算公式，其中单音程循环涵盖了例如：半音阶、全音阶、以及各种八度等分音阶。同时依据格林的算法公式可以对音数进行计算。混合音程循环则包含了更加复杂的音高结构，同样可以通过公式对长度进行运算，非多重集群循环与多重集群循环则进行一步对混合音程循环中是否建立在等分基础上的混合划分进行了分类，矢量理论则对多重集群循环的回归音音数进行了界定。

就目前的研究来看通过算法公式对于音高结构组成方式的分析研究仍然处于探索阶段，虽然有较为成熟的艾伦福特音级集合理论，但正如任何一种理论都是在不断的发展中前行，人们通过更加理性的思维方式探索音乐深层逻辑的道路也将继续前行。

参考文献：

[1]彼德.斯.汉森.二十世纪音乐概论.上、下册[M]孟宪福译，人民音乐出版社，北京， 1984.

[2]杨立青.《真诚.高雅.纯挚——梅西安的音乐语言》[M]人民音乐出版社，2011，第二版.

[3]罗伯特.摩根：《二十世纪音乐——欧美音乐风格史》陈鸿铎等译.[M]上海音乐出社，2014.

[4]罗伊格.弗朗克里：《理解后调性音乐》杜晓十等译.[M]人民音乐出版社，2012.

[5] Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[6] 1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[7]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[8] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

注释：

[1]《理解后调性音乐》罗伊格.弗朗科利著，杜晓十，檀革胜翻译。40-41页。

[2]由于八度等同，在音级空间中补集音程之间也是等同的。也就是说，小二度（i1，如E-F）和补集大七度（i11，或F-E）是由同样的音高级构成的，因此它们在音级空间中构成同一个音程类别。

[3]有关音级的表述方式采用数字音级的方式表述，T表示音级10，E表示

[4]Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[5]1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[6]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[7]石磊《音程循环的理论与早期实践的研究》，音乐创作2014年第4期。

[8]陈林 《复合音程循环的构成与技术特征研究》，武汉音乐学院学报2014年第4期。

[9]2007.“Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

[10]通過计算，仍可推导出对于四音程混合循环的多重集群循环公式为：（w，x，y，z）-cycle;L=4（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=w+x+y+z（mod12）

[11]爱德华的表述应该指的确切意思是类似转位的应用方式.

张晨明     周口师范学院讲师