基于PID算法的开源小四轴飞行器控制系统设计

孙佳铭，李丽霞

（沈阳工程学院自动化学院，辽宁 沈阳 110136）

当今，传感器、中央处理器和存储器等方面的技术渐渐成熟，带动了开源小四轴飞行器的快速发展，它逐渐成为人们生活中重要的工具。开源小四轴飞行器的结构简单，体积越来越小，操作也越来越大众化、人性化。正是由于这些优点，开源小四轴飞行器更易于生产，价格低廉，越来越受欢迎。对开源小四轴飞行器的飞行控制是目前的研究重点，由于非线性控制对模型的精度要求较高，但也不能避免误差的存在，因此PID控制算法尤为重要。在开源小四轴飞行器动力学模型的基础上，设计了PID控制器。

1 开源小四轴飞行器动力学模型的建立

描述任何物体的运动都需要提前定义好作为参考的坐标系，在对四旋翼飞行器进行动力学模型建立时，由于需要描述它的飞行状态和飞行姿态，所以不能忽略飞行器的几何形状和尺寸大小，它不能被视为质点进行研究。如果将其视为质点，就不能分析它的状态和姿态，这对研究是有影响的。不仅需要描述其位置信息，还要描述物体的姿态。虽然在坐标系中无法确定姿态，但必须对两个坐标系进行相互参考。为此，定义了可以确定飞机在空间中的位置和姿态的机体坐标系{B}。定义的两个坐标系如图1所示。

图1 地面坐标系和机体坐标系

1）地面坐标系OE-XEYEZE

地面坐标系（简称坐标系{E}）原点固定在地面上一点。飞行器质心在空间中的位置由地面坐标系中一个3×1的位置矢量唯一确定。OEXE轴指向飞行器指定的飞行方向，OEZE轴垂直于OEXEYE面向上，OEYE轴垂直于OEXEZE平面。

2）机体坐标系O-xyz

机体坐标系（简称坐标系{B}）是将坐标系固定在飞行器上的一种新型坐标系，该坐标系的原点与飞行器的质心重合，其坐标轴也是重合的。

飞行器的姿态信息是由俯仰角θ、横滚角φ和偏航角Ψ等3个欧拉角来确定的，欧拉角的含义如下：

①俯仰角度：以OY轴为基准，飞行器旋转一定角度。当达到这个角度时，飞行器的纵轴坐标偏转一定角度，则轴向坐标与OY轴的夹角为俯仰角度，当纵轴指向水平面以上，其角度θ为正，否则为负。

②滚动角度：以OX轴为中心，机体坐标系OZ轴偏离OX轴的旋转角度。如果OZ轴位于OX轴的右侧，则φ为正，反之亦然。

③偏航角度：以OZ轴为中心，机体坐标系绕该轴旋转的角度。它是飞行器在水平面上的垂直轴投影与惯性坐标系的OX轴之间的角度。从惯性的角度上看，可以看成是机体坐标系的横轴旋转到投影线上。当该坐标系逆时针旋转时，角度Ψ为正值，反之亦然。

由于开源小四轴飞行器本身是一个复杂的动力学系统，对飞行器进行精确的建模，难度是很大的。为了使这个问题简单化，有必要作如下的假设：

①飞行器是均匀对称的物体；

②忽略地球是一个球体，将其视为一个平面；

③忽略由于旋翼旋转导致的转子陀螺效应；

④随着高度的增加，飞行器的加速度几乎不会改变；

⑤只研究飞行器本身的坐标系，忽略其他的坐标系。

在机体坐标系中，定义推力T（T∈R）为飞行器4个旋翼产生升力的总和，因此在机体坐标系中飞行器受到的拉力可以表示为

式中，Fi为四旋翼飞行器第i（i=1，2，3，4）个旋翼产生的升力。

在地面坐标系中，线位移在3个轴上的运动方程如式（2）所示：

式中，系数Ki（i=1,2,3,4,5,6)是飞行器在地面系统中3个坐标轴方向上的空气阻力系数。

根据力矩平衡原理，可以得到飞行器在机体坐标系Xn,Yn,Zn下的角位移方程，如式（3）所示：

式中，l为飞行器重心到每个螺旋桨的距离；Mi为第i个螺旋桨产生的转动力矩；I为对应轴的转动惯量。

选取式（4）作为四旋翼飞行器的输入量：

式中，u1、u2、u3、u4分别为飞行器的垂直升力、横滚角、俯仰角、偏航角所需的力。

2 PID控制器设计

2.1 PID原理

由牛顿第二定律和欧拉公式可以知道，对姿态角进行控制是使飞行器能够稳定飞行的主要部分，同时求得的Ψ、Φ、θ、x、y、z这些参数都是一个二阶系统方程。PID控制器是一种经典的且常用的控制方法，同时PID控制器又可以对这些二阶系统进行很好的处理。

PID控制器是工业过程控制中使用最为广泛的线性控制器。据统计，在使用的各种控制技术中，采用PID控制算法占到很大比例。传统PID控制器的结构如图2所示。

图2 PID控制器结构

整个PID控制器的输出与输入的函数关系如下：

其中，kp为比例增益的系数；Ti是积分时间系数；Td为微分时间系数。这3个系数都是常数，通过测量被控信号的曲线可以计算得到，四旋翼飞行器用到PID控制器就是利用这几个参数来消除系统误差，使飞行器能够稳定飞行。

2.2 线性变参数

线性变参数系统（Linear variable parameter system）的最大特点在于系统矩阵都与参数相关。以飞行器为例，LTI系统（线性时不变系统）一般只能描述飞行器在特定工作点的动力学特性，因此传统的飞行器控制也都是针对特定工作点，也就是根据某一特殊LTI系统来设计控制律的。这种方法最大的局限性在于飞行器显然不可能一直在某一工作点附近工作，飞行器的速度、角度、高度等都会成为影响飞行器动态性能的参数。但是，如果可以将飞行器的动态性能用速度、角度、高度等通过插值手段表示出来，那么就意味着得到了一个更为通用的数学模型，而且飞行器也可以跳出这些特定工作点，在更广阔的飞行包线内运动，这样就得到了一个飞行器的LPV系统来描述飞行器的运动。传统的变增益控制思想就是把飞行器的一堆工作点放到一起组成一个大包线，针对这些工作点分别设计控制器，这样通过不断地切换来达到控制的目的。就系统描述而言，LPV系统可以用几个方程，以某些参数，如速度、攻角、高度为变参数，达到描述飞行器运动的目的。变增益则需要一堆工作点来描述，而且这里还需要涉及一个控制器的切换问题，那么切换的稳定性就是影响变增益的最主要问题。

用LPV系统来描述运动，就较传统的LTI系统和变增益控制系统而言，都有着更为简便、更贴近非线性特征的优点。LPV系统控制的主要方法是鲁棒控制，通过设计一堆LMI来求解，这个过程计算起来并不简单，特别是针对飞行器这类复杂的系统，而且如果系统阶数越高，计算就更复杂。

2.3 线性变参数模型建立与仿真

通过牛顿-欧拉方程得到的动力学模型是非线性的，而需要设计的控制器是线性的，所以需要将非线性的模型线性化。在地面坐标系中，将线速度分解到三个坐标轴上，其方向与所在坐标轴相同，数值大小为0，角速度的数值也为0。通过上述条件和式（2）、（3）、（4）可得，飞行器处于空中稳定悬停状态，并计算出系统的稳态值为u1=mg,u2=u3=u4=0。

采用线性变参数的方法将非线性模型转换成线性模型，忽略飞行器的升力与反力矩之间的耦合关系。以u1、u2、u3、u4为输入，构建四旋翼飞行器的状态矩阵，由此得到的状态方程如式（7）所示：

当飞行器在低速度运行时，空气阻力对飞行器几乎没有什么影响，完全可以忽略不计。假设四旋翼的横滚角φ和俯仰角θ很小，则sinθ≈sinφ=0，cosθ≈cosφ=1，则得到传递函数如式（11）所示：

当四旋翼飞行器处于小角度飞行时，有cosθ≈cosφ=1，式（11）可以简化为

系统的线性模型由飞行器与电机组成，电机转速的控制信号与升力之间的传递函数为

其中，d为电机电子调速器控制信号与电机升力之间的比例系数。在实际过程中，不能直接得到比例系数，需要通过实验测量才可以得到，并且比例系数对系统几乎没有影响，所以在设计中选取d=1进行仿真，这样可以减少计算量，方便进行仿真。

设旋翼升力F与Ud之间的关系如式（14）所示：

故系统的最终线性模型为

式中，矩阵主对角线得到的传递函数为飞行器4个通道的控制器。

3 仿真结果

对所建立的模型进行仿真，得到如下仿真结果。图3为对垂直速率通道测试得到的波形图，图4为对俯仰角速率通道测试得到的波形图，图5为对横滚角速率通道测试得到的波形图，图6为对偏航角速率通道测试得到的波形图。

图3 对垂直速率通道测试得到波形

图4 对俯仰角速率通道测试得到的波形

图5 对横滚角速率通道测试得到的波形

图6 对偏航角速率通道测试得到的波形

通过观测系统在方波信号下的响应曲线，可计算得出上升时间不超过0.5 s，调节时间不超过1.2 s，超调量不超过20%，各通道的控制器在测试垂直速率、俯仰角、横滚角、偏航角通道上基本满足设计初所设定的目标。系统的超调量基本达到要求，响应时间短，几乎无稳态误差，验证了PID控制方法的有效性。

4结论

四旋翼飞行器在实际飞行中经常会受到外部空气扰动的影响，这会使飞行器的飞行状态偏离预期状态。基于这个问题，首先，利用牛顿-欧拉方程建立系统的非线性动力学模型，在低速小角度飞行条件下（忽略空气阻力的影响）得到简化的非线性动力学模型；然后，通过线性变参数的方法对非线性系统模型进行线性化处理，根据传递函数与状态方程之间的关系，得到各个控制通道的传递函数；最后，对控制通道采用经典的PID控制算法，设计了控制器。

在设定的控制器参数下，飞行器可以快速实现位置和状态的稳定，表明飞机具有一定的抗干扰能力。