微扰理论的可视化—以一维线性谐振子为例

肖奎 罗子安

摘 要：对许多实际物理问题而言，哈密顿量比较复杂，使得薛定谔方程精确求解难以实现，需要发展近似方法，微扰理论是量子力学中的一种近似方法。量子力学中的微扰理论，有一套完备的计算步骤，但计算过程相对较为繁杂，较难直观展示微扰理论的物理内涵。为了直观展示微扰理论对波函数及能级产生的影响，本文以一维线性谐振子为例，做简谐振动的粒子为带电粒子，当其处在弱电场中时，会受到微扰。本文借助Mathematica软件，展示带电谐振子处在弱电场时，能量及波函数的变化情况。

关键词：量子力学；一维线性谐振子；微扰；Mathematica

中图分类号：0413，1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）05-0218-02

量子力学中的定态问题，通过解薛定谔方程，原则上可以得到哈密顿算符的本征值谱和本征函系。但当哈密顿算符比较复杂的时候，很难获得薛定谔方程的精确解。量子力学发展了很多近似的方法，比如微扰理论、变分法等。本文以一维线性谐振子为例，当谐振子处在外电场的情况下，并利用Mathematica來展示如何直观的展示波函数和能量的变化情况。

1 模型

可见，当带电谐振子处在弱外电场时，其能级以及波函数都相应的发生了变化。微小量对波函数的影响显而易见，即谐振子的平衡位置发生了平移。但其对能级的影响情况是怎样的？单从公式的表述中难以得到一个直观理解。为了得到一个直观的理解，可以借助数学软件实现。借助数学软件理解量子力学，国内外已经有大量的实例[3，4]，这里，我们采用Mathematica软件，比较上述实例中的波函数及能级变化情况。

2 图形展示

在Mathematica网站中，对谐振子的微扰进行了两种不同情况下的展示。本文采用比较简单的命令，来实现微扰理论的可视化。在Mathematica软件中，利用内部命令Manipulate 可以实现对控件的操作，其基本形式为：

Manipulate[expr，{u，umin，umax，du}]

其作用是产生一个带有控件的expr表达式版本，该控件允许对u的值进行交互式操作，其中umin，umax分别是u的最小值和最大值，du表示从最小值到最大值以du步长变化。

为了方便，我们直接令质量m=1，=1。为了能比较波函数及能量微扰前后的变化情况，这里我们采用Mathematica中的内部命令Manipulate进行演示。代码如下：

其中左图中红色实线表示未受微扰的波函数，黑色点线表示微扰后的波函数；右图表示微扰前后的能级差。

为了能分析不同能级，不同微扰给波函数及能级带来的差异，我们设置了两控件，分别为能级n及微扰量，其中n∈[0，10]，∈[0，0.1]，步长分别为1及0.02。为了方便比较能级的关系，我们直接用微扰后的能量减去未微扰的能量。运行上述程序，可以得到不同情况下的未微扰波函数和能级与微扰后的波函数和能级的关系，具体展示如图1及图2。

通过调整微扰能量En[n_，_]、波函数φ[n_，x_，_]，及控件n，的取值范围，可以得到不同微扰情况下，未微扰波函数与微扰波函数的关系。

3 结语

由于量子力学所研究体系的哈密顿量算符一般比较复杂，从而能严格求解的薛定谔方程非常少。引入微扰理论获得薛定谔方程就显得非常重要。微扰理论的求解往往都是直接对方程进行运算，但微扰对原来波函数及能级所产生的影响到底有多大，很难得到一个直观的印象。本文利用Mathematica计算软件，对一维线性谐振子的微扰理论进行了分析，比较直观的展示了微扰对原波函数以及能级的影响，为进一步深入理解相关物理知识奠定了基础。

本文展示了如何实现微扰理论的可视化，同时，借用Mathematica软件中的“量子力学应用的函数”，可以进行更多模拟和展示。

参考文献

[1] 仲顺安，田黎育，等.理论物理导论（第3版）[M].北京：北京理工大学出版社，2014.

[2] David J. Griffiths， Darrell F. Schroeter， Introduction to Quantum Mechanics （3rd Edition）[M].Cambridge： Cambridge University Press，2018.

[3] 陈凤翔，汪礼胜，谭改娟，许文英.量子力学虚拟实验的MATLAB演示[J].大学物理，2012，31（05）：58-61+65.

[4] 鲍曼.理论物理中的Mathematica——电动力学，量子力学，广义相对论和分形[M].北京：科学出版社，2011.