等差数列在不等式中的应用

王雷?赵蓉?王磊

摘要：对于一个数学问题，我们不能肤浅的认识它，要深层次地挖掘它。这样有利益拓展学生的思维，增加学生的学习兴趣，下面就对等差数列中的一个定理进行证明和应用。

关键词：等差数列；证明；定理；分析

等差数列由于其内容的丰富性，公式的整合、變形的多样性，所以它的相关知识点是每年高考必考的内容之一。其实等差数列还能与不等式联系在一起，使得等差数列的应用更加广泛。

这里给出等差数列的一个定理：数列{an}是正项等差数列，对任意的k∈N，有≥ak+2 = （k + 1）a2 - ka1，当且仅当ak = ak+1时等号成立。

证明：对于正项等差数列{an}，若公差为d，则有

（a1 + kb）2≥（a1 + kd）2 - d2（a1 + kd）2≥[a1 + （k - 1）d][a1 + （k + 1）d]

所以 对任意的k∈N，有≤≤≤…≤≤，

即≤，≤，≤，…，≤.

将以上k个不等式相乘： ··· … ·≤， 即 ≤，

所以≥ak+2=a1 + （k + 1）d=a1 + （k + 1）（a2 - a1）=（k + 1）a2 - ka1

从该定理不难看出以下两方面结论：

（1）虽然该定理是等差数列的定理之一，但对于任意正数a、b均有

（k∈N）.这样定理的使用范围很广，在大量的问题中得到应用。

（2）它将正数a、b的高次幂转化成了a、b的一次幂，完成了降幂的过程。

下面通过两个例题分别加以说明：

例1 已知，求sin10θ+cos10θ的最小值。

分析：该题有多种解法，比较典型有数形结合的方法或从函数单调性去判断，即时，sin10θ+cos10θ有最小值.我们这里从等差数列的定理去分析，将sinθ和cosθ的10次方降为2次方，再利用sin2θ + cos2θ = 1求得。

解 ，则sinθ、cosθ∈R+，设sin10θ + cos10θ = M 4，则由定理得

1=≥（5sin2θ - 4M） + （5cos2θ - 4M）

=5（sin2θ + cos2θ）-8M=5 - 8M.

所以 8M≥4，M≥，M 4≥.故（sin10θ + cos10θ）min=.

将该题进一步拓展，例如：设正数a、b，且有a + b = m，求an + bn的最小值.这里m和n可以任取，因而，我们用同样的方法解决了一系列问题。

例2 已知x1， x2，…， xn∈R+，求证≥x1 + x2 + … + xn.

分析：定理中令k = 1，则有≥a3 = 2a2 - a1，显然与所证不等式惊人的相似。

证明：≥≥≥2xn - x1，

将以上n个不等式相加，得

≥2（x1 + x2 + … + xn）-（x1 + x2 + … + xn）=x1 + x2 + … + xn.

该题也可以进一步拓展，例如：已知x1， x2，…， xn∈R+，求证≥k （x1 + x2 + … + xn），当k取不同的值也能得到不同的问题。

综上可知，一个关于等差数列的定理和它的解题方法可以帮助应对多种类型的问题，以不变应万变，极大地提高了学习的有效性。

参考文献：

[1] 北京师范学院数学系教材教法研究室.中等数学解题研究[M].郑州：河南教育出版社，2000.

[2] 索云旺.对等差数（比）数列前n项和公式推导的思考.数学教学研究，2010（08）.

[3] 敬加义.等差数列的一个性质及应用[J].中学数学杂志（高中），2001（03）.

（作者单位：辽宁省大连市空军通信士官学校数学教研室）