例析统计与概率中的知识交汇

高慧明

从近10年全国课标卷I统计与概率命题规律和统计与概率高考考点具体分布如下，我们不难看出统计概率是高中数学的重要内容，是新课程高考的一大亮点和热点. 实际上不仅如此，统计概率也是中学数学知识的一个重要交汇点，已经成为联系多项内容的媒介，还常常与函数、数列、方程、不等式、三角、几何、线性规划、跨学科知识、学科内多分支知识、实际生活等内容交叉渗透，自然交汇，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目，综析如下：

一、統计与概率内部的交汇

例1. 某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：

（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量y与年份t之间的线性回归方程;

（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区 2018年的粮食产量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

■=■=■，■=■-■■.

解析：（1）由所给数据可以看出，粮食年产量y与年份t之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下：

对预处理后的数据，容易算得：

■=■=0，■=■=3.2，

∴■=■=■=6.5，

■=3.2-6.5×0=3.2.

由上述计算结果，知所求线性回归方程为■-257=■（t-2012）+■=6.5（t-2012）+3.2，

即■=6.5（t-2012）+260.2.

（2）由（1）知，■=6.5>0，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5万吨. 将t=2018代入（1）中的线性回归方程，得■=6.5×6+260.2=299.2，故预测该地区2018量为299.2万吨.

点评：求解回归方程问题的三个易误点：

①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.

②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点（■，■），可能所有的样本数据点都不在直线上.

③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值（期望值）.

相关链接1：某教师调查了100名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如图所示的条形图.

（1）若该教师从这100名学生中任取2人，记这2人所购买的数学课外辅导书的数量之和为X，求X>3的概率;

（2）从这100名学生中任取2人，记Y表示这2人所购买的数学课外辅导书的数量之差的绝对值. 求Y的分布列和数学期望.

解析：（1）依题意，X≤3的情况包括（1，1）和（1，2），所以X>3的概率为1-■-■=■.

（2）Y的可能取值为0，1，2，则：P（Y=0）=■=■，

P（Y=1）=■=■，P（Y=2）=■=■.

故Y的分布列为：

故E（Y）=0×■+1×■+2×■=■.

相关链接2：某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

（Ⅰ）若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？

（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元;考入年级201-500 名，获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为■，获二等奖学金的概率均为■，不获得奖学金的概率均为■.

（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率;

（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望.

附：■=■，■=■-■■.

解析：■=■=6，■=■=146.

■=■=■=20，■=■-■■=146-20×6=26.

∴■=20x+26.

当x=8时，■=20×8+26=186.

即某天售出8箱水的预计收益是186元.

（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，

P（B|A）=■=■=■.

则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为■.

（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，

P（X=0）=■×■=■，P（X=300）=■■×■=■，P（X=500）=■■×■=■，

P（X=600）=（■）2=■，P（X=800）=■■×■=■，P（X=1000）=（■）2=■.

即X的分布列为：

E（X）=0×■+300×■+500×■+600×■+800×■+1000×■=600元.

二、统计概率与函数的交汇

例2. 多向飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由跑靶机把碟靶（射击目标）在一定范围内从不同方向飞出，每抛出一个碟靶，都允许运动员射击两次.一运动员在进行多向飞碟射击训练时，每次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S（米）成反比，现有一碟靶抛出后离运动员的距离S（米）与飞行时间t（秒）满足S=15（t+1）（0≤t≤4）. 若运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为0.8，若他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击. 求他命中此碟靶的概率.

解析：设P=■（k为常数），则P=■（0≤t≤4），从而建立了命中率与时间的函数关系，为深层次的研究奠定了基础. 依题意，当t=0.5秒时，P1=0.8，则k=18，∴P=■=■，∴当t=1秒时，P2=■=0.6.

此人命中此碟靶的概率P=P1+（1-P1）P2=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92.

点评：高中数学新教材以较多的篇幅充实了概率内容，旨在介绍一些新的基本数学思想方法与内容，其重要性是不言而喻的.本题联系现实，体现了数学来源于生活，服务于生活的宗旨，同时考查了概率与函数知识的综合.

三、统计概率与数列的交汇

（1）与一般数列的交汇

例3. 某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是■，构造数列{an}，使an=1，当第n次出现正面时-1，当第n次出现反面时 记Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）.

（1）求S8=2时的概率;

（2）求S2≠0且S8=2时的概率.

分析：本题主要考查独立重复事件的概率，注意认清是何种概率，再套用相应公式.

解析：（1）S8=2，即8次中有5次正面3次反面，设其概率为P1，则P1=■（■）5（■）3=■×■=■.

（2）S2≠0，即前两次同时出现正面或出现反面，当同时出现正面时S2=2，要使S8=2，需后6次是3次正面3次反面，设其概率为P2，则P2=■×■×■（■）3（■）3=■;当同时出现反面时S2=-2，要使S8=2，需后6次是5次正面1次反面，设其概率为P3，则P3=■×■×■（■）5×■=■，∴当S2≠0且S8=2时的概率P=■+■=■.

点评：此题将概率与数列有机地结合在一起，看似是一个常见的数列题，但实际上是一个地地道道的概率题.要求考生能够从题目中及时地抽象出有用的数字来，并能建立恰当的概率模型来解决问题，要求考生有较强的分析问题和解决问题的能力.

（2）与等差（比）数列的交汇

例4. 中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等. 据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：

（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入180万元需比赛多少场？

（2）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于330万元的概率是多少？

分析：本题主要考查综合利用数列知识和概率知识解决实际问题的建模能力. 各场比赛的门票收入構成等差数列，从而第（1）问可以利用等差数列求解;对于第（2）问利用互斥事件的概率计算公式求解.

解析：（1）a1=30，d=10，an=30+（n-1）×10=10n+20，

由题意有Sn=■·n=180，即n2+5n-36=0，（n+9）（n-4）=0，解得n=4.

故比赛4场收入180万元.

（2）由Sn≥330，即n2+5n≥66，解得n≥6.

①比赛6场，则前5场为2 ∶ 3且领先一场的队获胜. P（6）=■×（■）5=■=■;

②比赛7场，则前6场为3 ∶ 3，P（7）=■ ×（■）6=■，

故收入不少于330万元的概率为P（6）+P（7）=■=■=0.625.

评析：解答本题有两个关键：一是根据题意建立数列模型;二是熟练地利用互斥事件的概率公式进行概率计算.事实上，概率知识在解决体育比赛问题中的应用十分广泛，应引起广大读者的极大关注.

（3）与递推数列的交汇与融合

1. 建立形如Pn+1=A·Pn+B型的递推式求解

例5. A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷. 第一次由A开始掷.

（1）若第n次由A掷的概率为Pn，求Pn;

（2）前4次抛掷中A恰好掷2次的概率为多少？

解析：（1）第n+1次由A掷这一事件，包括第n次由A掷，第n+1次继续由A掷这一事件，以及第n次由B掷，第n+1次由A掷这一事件.

两骰子点数和为3的倍数分别为：1+2，2+4，1+5，4+5，3+3，6+6，3+6，其概率为■=■. 则两骰子点数之和不为3的倍数的概率为■.

∴第n次由A掷，第n+1次继续由A掷的概率为■Pn，

第n次由B掷，第n+1次由A掷的概率为■（1-Pn）.

∴Pn+1=■Pn+■（1-Pn）=-■Pn+■·（n∈N*）.

（利用待定系数法转化为等比数列求解）令Pn+1+？姿=-■（Pn+？姿），解得：？姿=-■.

∴ Pn+1-■=-■（Pn-■）. 注意到第一次由A开始掷，∴P1=1.

∴ {Pn-■}组成首项为P1-■=1-■=■，公比为-■的等比数列.

∴Pn-■=■·（-■）n-1，即Pn=■+■（-■）n-1.

（2）由于第1次由A掷，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由A掷一次即可.

∴所求概率P=P1P2（1-P3）（1-P4）+P1（1-P2）P3（1-P4）+P1（1-P2）（1-P3）P4.

由（1）可知：P2=■+■×（-■）=■，P3=■+■×（-■）2=■，P4=■+■×（-■）3=■.

故P=■.

点评：本题以一个实际问题为背景，直接依据概率知识求第n次由A掷的概率Pn行不通，只能由相互独立事件、互斥事件的概率计算公式求得Pn+1与Pn所满足的关系式，再依据数列的相关知识求出Pn. 第（2）问依据第（1）问的结论和概率的相关知识求解.此题“新”在把概率中问题的解决与数列知识综合，突出了应用、创新、探索、综合意识和能力的培养.

2. 建立形如Pn+1=f（n）·Pn型的递推式求解

例6. 如右图，■个不同的数随机排成一个三角阵，设Mk是从上往下数第k行中的最大数，求M1

解析：设所求概率为Pn，则M1

又P1=1，∴P2=■P1，P3=■P2，P4=■P3，…，Pn=■Pn-1.

（利用累乘法求解）将以上各式相乘得：Pn=1×■×■×■×…×■=■.

从而M1

3. 建立形如Pn+1=A·Pn+B·Pn-1（A+B=1，n≥2）型及Pn+1=Pn+f（n）型的递推式联合求解

例7. 从原点出发的某质点M，按向量■=（0，1）移动的概率为■，按向量■=（0，2）移动的概率为■. 设M到达点（0，n）的概率为Pn，求Pn.

解析：M到达点（0，n）有两种情形：①从点（0，n-1）按向量■=（0，1）移动到点（0，n），此时概率为■Pn-1;②从点（0，n-2）按向量■=（0，2）移动到点（0，n），此时概率为■Pn-2. 因这两种情形是互斥的，故有Pn=■Pn-1+■Pn-2（n≥3）.

（转化为等比数列求解）由上式可得Pn-Pn-1=-■（Pn-1-Pn-2）（n≥3）. 又易得P1=■，P2=■，所以数列{Pn-Pn-1}是以P2-P1=■为首项，-■为公比的等比数列.

于是Pn-Pn-1=■·（-■）n-2=（-■）n（n≥2）. （利用疊加法求解）

所以Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=■+（-■）2+（-■）3+…+（-■）n

=■+■=■+■[1-（-■）n-1]=■+■（-■）n.

四、统计概率与方程的交汇

例8. 袋中装有m个红球和n个白球，m>n≥4，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取2个球.

（1）若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m必为奇数;

（2）在m、n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合m+n≤40的所有数组（m，n）.

解析：（1）取出的是2个红球的概率是■，取出的是一红一白的2个球的概率是■，由题意可知■∈Z，即■∈Z，则■∈Z. ∴m-1一定为偶数，故m一定为奇数.

（2）取出的球是同色的概率为■，取出的球是不同色的概率为■，则■=■，化简得（m-n）2=m+n，又m+n≤40，m>n≥4，故8

注意到（m-n）2=m+n，∴m+n=9或25或36.

于是有m+n=9，m-n=3？圯m=9，n=3<4.（舍去）m+n=25，m-n=5？圯m=15，n=10.m+n=36，m-n=6？圯m=21，n=15.

综上，适合条件的数组有（15，10）、（21，15）.

点评：摸球问题是概率考题中的常见问题，但本题的考查却另辟蹊径，概率的考查成为综合考查其他知识的跳板. 第（1）小题中奇偶分析方法，第（2）小题中的不定方程在约束条件下的整数解等问题都是以往竞赛中的热点问题. 但是通过概率为跳板，将这两个问题有机融合，巧妙而自然. 解决这类问题对思维能力有较高的要求.

五、统计概率与不等式的交汇

例9. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1-P，且各引擎是否发生故障是相互独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行. 问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？

分析：因为有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，所以4引擎飞机至少有2架引擎能正常运行便可以成功飞行，2引擎飞机至少有1架引擎能正常运行便可以成功飞行，注意到各引擎是否发生故障是相互独立的，因此可以用二项概率公式求解，由“至少”又可用事件的和，显然“4架引擎中恰有i架（i=2，3，4）正常运行”是互斥事件，从而可选择互斥事件和的概率公式.

解析：飞机成功飞行的概率分别为：

4引擎飞机为■ P 2（1-P）2+■ P 3（1-P）+■ P 4=6P 2（1-P）2+4P 3（1-P）+P 4，

2引擎飞机为■ P（1-P）+■ P 2=2P（1-P）+P 2，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，

只要6P 2（1-P）2+4P 3（1-P）+P 4≥2P（1-P）+P 2，即3P 3-8P 2+7P-2≥0，

就是（P-1）2（3P-2）≥0. ∵（P-1）2>0，∴3P-2≥0，则P≥■.

即当引擎不出故障的概率不小于■时，4引擎飞机比2引擎飞机更安全.

点评：本题先求出4引擎飞机和2引擎飞机成功飞行的概率，再根据题设条件列出不等式并解不等式，从而求得P的取值范围，体现了概率与不等式的自然而贴切的整合.

六、统计概率与三角的交汇

例10. 在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40km/h的速度从A港出发，30分钟后因故障而停在湖里.已知机艇出发后，先按东偏北某个方向直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向.如果去营救，试求营救到机艇的概率.

解析：先求机艇出故障的区域.如图1，以A为原点，正东方向为x轴的正半轴，建立坐标系.

设机艇的航向为A→P→Q，∠POx=？兹，？兹∈（0，■），|AP|=a，|PQ|=b，Q（x，y），则x、y>0，P（acos？兹，asin？兹），Q（acos？兹，b+asin？兹）.