以“定”解“动”

柴泽礼

【摘要】高中数学几何教学中的动点型最值问題一直是学生难以逾越的障碍，究其原因是点多且动，学生碰到此类问题无从下手.而恰恰是多且动，那其中必有“定”，找到这个“定”的特性也就寻到了解题的突破口.

【关键词】动点;最值;定量

最值问题是普遍的应用类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，在高中数学是常见的题目类型.而所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线或曲面上运动的一类开放性题目.由于题目中的动点不止一个，而是有多个，某一动点运动时会带动或制约其他一些点的运动，导致涉及面加大，在这种错综复杂的情况下，会有一种“山重水复疑无路”的感觉.但是我们如果能够尽可能地使动点的数目减少，在“动”中找到“定”的东西，往往就会出现“柳暗花明又一村”的局面.而解决这类问题的关键就是“动中求定”，即在已有的题设条件中找到“定的条件”，灵活运用有关数学知识解决问题.下面就通过几道题目来找找感觉.

一、“动”中找“定长”

例1已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m为常数），圆C：（x-1）2+（y-2）2=25.

（1）证明：m为任意实数时直线l与圆C必相交;

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时直线l的方程.

解析此题应属高三复习备考中的经典题目，可以从数与形两个角度进行求解.思路一：（1）联立直线l与圆C的方程，通过整理得到关于x或y的一元二次方程，通过判定判别式Δ>0而进行证明;（2）利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式是关于m的函数，化为函数的最值问题求解，此法思路明了但运算量偏大.在平时的教学中，这种方法理论上可行但实际操作异常复杂，常常适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题.思路二：数形结合、“动”中找“定”，（1）不难发现直线l恒过定点A（3，1），只需判断此点在圆C内即可，那么只要是过定点A（3，1）的任何直线与圆C必相交;（2）无论l怎么动，|CA|=5为定值，利用几何图形不难发现当l与CA垂直时弦长最小为225-|CA|2=45，此时直线l的方程为x-2y+5=0.通过对比就会深切体会到思路二的优势所在，以“定”解“动”可以达到事半功倍的效果.在实际教学中，如果可以借助多媒体动画进行演示教学，会使学生能够更加直观地感受到动态中变化的过程，领悟以“定”解“动”的精髓.

总结：碰到动直线与圆锥曲线的位置关系中的最值型问题时，务必先找到动直线恒过的某一定点，然后再寻找此定点与曲线上的某一点之间存在的定量关系，即“线动有定长”.结合几何图形进行分析找到解决问题的最优策略.一般都是在某一特定的位置处取得最值，据此我们可以对最终的结果进行验证.

二、“动”中找“定位”

例2设m∈R，过定点A的动直线l1：x+my=0和过定点B的动直线l2：mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是.

解析拿到此题乍感觉其中的不定条件有三个之多，两条动直线l1，l2和一个动点P（x，y），在实际教学中，我的大多数学生常规的解题思路是求出定点A（0，0）和B（1，3）及Pm2-3mm2+1，3-mm2+1，利用两点间的距离公式将|PA|·|PB|表示为关于m的代数式，最终从函数的角度求解最值.当我让他们操作执行时却没有一名学生可以解答出来，可见在这种思路下不易解答，我说他们“小题大做”了.我们无妨换个角度，既然有两条动直线l1，l2，从它们的位置关系找找看，不难发现l1与l2无论如何动都是垂直的，即“线动垂直定”，找到了这个定量位置关系那么问题就明朗简单化了.于是有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，到此大家基本都可以和所求问题联系起来进行解答了，利用重要不等式可得|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5（当且仅当|PA|=|PB|=5时，等号成立），问题迎刃而解，|PA|·|PB|的最大值是5.在此题中找到l1与l2垂直这一“定位”关系尤为重要.

总结：在解决有关多条动直线的问题时，除过先要找到它们各自恒过的定点外，勿忘判断它们的位置关系，或许“线动位置定”，可以帮我们从中找出一条明路.

三、“动”中找“定轨”

例3已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为.

解析此类问题学生碰到尤为头疼，较平面解析几何中的动点问题更难，究其原因是学生无法想象动点P的轨迹最终形成了一个什么样的几何体，而此题中又有三个动点M，N，P，在实际教学中学生是“望而生畏”.细审此题我们发现，题设中线段MN的长为2是明显的一定，再由直平行六面体得到△MDN是直角三角形为二定，这两定限制线段DP的长度为1，又一定！此定正是我们解题的关键突破口.这样就可以得到点P的轨迹就是以D为球心、DP为半径的球被直平行六面体ABCD-A1B1C1D1所截的六分之一（∠BAD=60°），所以所求几何体的体积为16×43×π×13=2π9.

总结：动点的轨迹问题比较常见，大家不要被题设中的多个动点所吓倒，要以这些动点的内在联系为突破口进行分析，将“多动点”轨迹转化为“单动点”轨迹问题进行求解.

类似以上的多动点问题是学生们在学习中的一个难点，而动点一般都满足一定的内在规律，由已知条件推导出隐藏关系式，在“动”中找“定”、将“多动点”转化为“单动点”是解题的一个基本思路，再利用数形结合思想会将复杂的题设情境变得简明直观！我们在平时的教学过程中，要注意培养学生解题时的观察联想能力和优化比较意识，这是在解决问题时快速选择最恰当方法的根本.