“排列”与“组合”，定义大不同

江苏省姜堰中学 张圣官

“排列”与“组合”问题的求解往往需要缜密的思维方式和独特的解决办法，考虑稍有不周便会出现“重复”或“遗漏”而导致计数的结果发生偏差，在初学这部分内容时我们首先要把握定义的实质.

1.“有序”或“无序”是“排列”与“组合”定义的本质区别

通俗地讲，排列即有序，组合即无序，“有序”或“无序”是区分“排列”与“组合”的重要标志.从1，2，3，4四个数字中取三个不同的数组成没有重复数字的三位数，这时要考虑有序，如123与213就是其中不同的两个排列；而从1，2，3，4四个数字中取三个不同的数组成一个集合，这时是无序的，像{1，2，3}就是其中一个组合.例如，从1，3，5，7四个数中任取两个相乘可得多少个不同的积？从1，3，5，7四个数中任取两个相除可得多少个不同的商？第一个“无序”是组合问题，结果为C24=6；第二个“有序”是排列问题，结果为A24=12.当然，第二题也可以分步进行，先从4个数中选两个，再将选出的两数按分子、分母讨论，一样可得结果为C24·A22=12.事实上，Amn=Cmn·Amm是永远成立的.

碰到有关顺序一定的计数问题怎么办？例如让5个人排成一排，要求其中甲、乙两人中甲必须在乙的左边（可相邻或不相邻），排法有多少种？结果为怎样解释呢？在5人全排列A55中每一种都算了A22次（甲在乙左边或甲在乙右边），因此符合事实.当然，换个角度思考，第一步从5个座位中选2个座位让甲、乙两人去坐，由于甲在乙的左边，两人确定地坐下了，第二步让另外3人随便坐，这样结果为C25·A33=60，结果一样正确.从这个意义讲，“排列”与“组合”又是辩证统一的.比如，要求有多少个百位数字、十位数字、个位数字依次减小的三位数？用或C39+C29或C310都行，你能分别给以解释吗？

2.“排列”或“组合”必须是“从n 个不同元素中取出m 个（不同）元素”

我们教材中所学的“排列”与“组合”，前提条件首先必须是“从n个不同的元素中取出m 个（不同）元素”.之所以要突出“不同”两字，说明相同元素问题可不能直接套用排列组合公式.

例1（1）若a，b∈{3，4，5}，则函数f（x）=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？

（2）若{a，b}⊆{3，4，5}，则函数f（x）=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？

解析二次函数图象的对称轴为x=故只要研究有多少个不同的的值即可，都有顺序但要注意两小题的区别.第（1）小题中a，b∈{3，4，5}，当a，b不同时有6个不同的的值，当a，b相等时因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a，b}⊆{3，4，5}，说明a，b必须不相等，因此只有6条不同的对称轴.

换一个角度来看，在某些计数问题中，我们还要善于在关于“相同元素”的问题中挖掘出不同因素，这样才能运用排列或组合解题.

例25个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？

解析按一定次序排列的一列数叫做数列.由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”，思考一下两种方法的优劣）.因此，一共可以组成C27C55=21个不同的数列.问题如果改成：“将5个相同的红球与2个相同的白球排成一排，问有多少种不同的结果”，答案其实是一样的.

点评本题还可以分类解决.先把5个“1”放好，再把2个“2”插入.但要注意分两个“2”在一起和分开在两处两种情形讨论.结果为有C16+C26=21个不同的数列.

例310个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中至少有一个小球，问有多少种不同的方法？

解析小球相同但盒子不同，本题相当于将10个相同小球分成3堆，可将10个球一字排开，中间有9个空档，在这9个空档中选2个插入2个隔板，每一种插法对应一种放小球的方法.因此，共有C29=36种放法.这种解题方法称为“隔板法”.

3.“排列”与“组合”问题归根结底关键还是在于准确计数

排列、组合是两类特殊而重要的计数模型，求解的基本手法是准确利用两个基本计数原理，首先要考虑分类或分步，然后常常是先组后排，最终要确保结果“不重不漏”.

例4如图1，一环形花坛分成A，B，C，D 共4块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种1种花且相邻的2块种不同的花，则不同的种法为_______.

图1

解法一先按A，C 是否选种相同的

解法二按选种几种花来分类求解.若选种4种花有A44种；若选种3种花，则有A，C种同一种花，B，D 种另2种花，或者B，D 种同一种花，A，C 种另2种花两种情形，2C34A33种；若选种2种花，则A，C与B，D 分别种同一种花，C24A22种.总共84种.最后通过一则教学案例，来说明利用排列组合定义解题时的一些注意点.

师：把形状大小完全相同的分别标有1，2，3的3个小球随机地放在编号分别是1，2，3，4的4个盒子中，则1号盒子内有球的不同放法有多少种？

生1（先下手为强）：先从3个球中任取一个放在1号盒内，其余2球任意放，得=48种放法.（因重复计数而犯错）

生2（折半扣除）：以上解法重复，应折半扣除，只有24种.（因出现新的遗漏致误）

生3（套用隔板）：由隔板法得C25=10种.（视3个球完全相同而致误）

生4（抓1号球分类求解）：按1号球放“1号盒、2号盒、3号盒、4号盒”分类.第1类，1号球在1号盒内且另2球任意放，有C14C14种；第2类时，1号盒又分有1球或有2球两种情形，有种；第3类、第4类与第2类相同.因此共有C14C14+3（C12C13+C22）=37种放法.（特殊元素法）

生5（抓1号盒分类求解）：按1号盒内分别放“1个球、2个球、3个球”来分类.有=37种.（特殊位置法）

生6（正难则反）：3个球任意放有43种，其中1号盒无球的有33种，故符合条件的共有43-33=37种.（间接法）

生7（追根究底）：无疑37种为正确答案了，生1多了，生2折半又少了，是怎么产生的？

生8（指点迷津）：在C13C14C14=48种放法中，当1号盒内只放1个球时不会出现重复；当1号盒内放2个或3个球时就出现重复.假如放入1号盒内为“1号、2号球”，则按“1号、2号先后顺序”与“2号、1号先后顺序”放入属同一种放法，但在C13C14C14中当成了不同，因此会出现种重复应予扣除；而当1号盒内放3个球时只有1种放法，但在C13C14C14中计成了3种.故正确放法有=37种.