都是中点惹的“祸”吗

黄 萍

随着学习的深入，我们和“中点”打交道的机会越来越多了，中位线、中线、中点四边形（顺次连接四边形各边中点的四边形叫中点四边形）等都和中点有着千丝万缕的关系，但有时不免容易将它们之间的关系混淆。下面是三个常见问题的错因剖析，希望能给同学们一些启发。

例1顺次连接四边形ABCD各边中点，所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）。

A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形 D.对角线相等的四边形

【错解】选B或C。

【错因剖析】看到菱形就想到对角线互相垂直，从而错选了B；固然矩形的中点四边形是菱形，但反之未必哦！原四边形对角线的位置关系与数量关系才是中点四边形形状的“风向标”，而不是原四边形的形状！

【正解】选D。中点四边形相邻两边分别为原四边形对角线的一半。中点四边形如果是菱形，那么它们邻边相等，故原四边形的对角线相等。

【变式】顺次连接四边形ABCD各边中点，所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是______________。（正确答案：对角线相等且互相垂直的四边形。）

例2若矩形ABCD的相邻两边长分别为6和8，则顺次连接各边中点所得的四边形的周长为____________，面积为__________。

【错解】周长：14；面积：12。

【错因剖析】本题和三角形中位线围成的三角形周长与原三角形周长之间的关系混淆起来了，误以为周长是原图形的二分之一，面积是原图形的四分之一。关于中点四边形，它们的形状和大小是由原四边形的对角线所决定的，可以通过画图计算求出。

【正解】周长：20；面积：24。如图1，若AB=6，BC=8，则由勾股定理得AC=BD=10。若E、F、G、H为各边的中点，则由中位线可得EF=FG=GH=HE=5，所以四边形EFGH为菱形，周长为4×5=20，面积为

【变式】顺次连接菱形ABCD各边中点，所得的四边形面积为12，则四边形ABCD的面积为_________。（正确答案：24。）

图1

图2

例3如图2，四边形ABCD为菱形，AC、BD交于点O，点E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点，则四边形EFGH为________。

【错解】填矩形或平行四边形。

【错因剖析】这里点E、F、G、H也都是中点，可能受“菱形的中点四边形为矩形”的影响，殊不知，这里的中点不再是原四边形四边的中点了，从而误填了；填平行四边形的则是没有考虑周全。

【正解】因为点E、F为OA、OB的中点，所以同理AD，又因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC=CD=AD，所以EF=FG=GH=EH，所以四边形EFGH为菱形。

亲爱的同学们，通过对这三道题的分析，你们觉得这“祸”是中点惹的吗？关于中点四边形的形状，我们应该关注的是原四边形的对角线的性质，只有它才真正决定着中点四边形的“颜值”。再则就是多画图，弄清问题的条件和本质，千万别像例3那样被迷惑了哦。