巧用“分类”理解概念，帮助学生积累数学活动经验
——以“等式与方程”教学为例

江苏南京致远外国语小学 刘 莉

一、初上与反思

1.初上

“等式与方程”是苏教版小学数学五年级下册第一单元第一课时的内容，方程刻画的是现实世界中的等量关系，对小学生来说，从具体事物的数量抽象出数，是认识上的一次飞跃，由具体的确定的数过渡到用字母表示未知的、可变的数是认知上的又一次飞跃。根据学生的学情和思维层次发展，一开始，笔者是这样教学的：

环节一：教学等式

出示题图。

（1）先观察，图中画的是什么？

师：知道天平有什么用处吗？（简要介绍天平）你们从图中能知道什么？想到了什么？

（2）学生交流得出：50+50=100。

说明：像这样的式子叫作等式，等式的左边是50+50，右边是100。

（3）让学生写出一些等式。

环节二：初步感知方程

出示天平图。

教师引导学生用式子表示天平两边物体的质量关系。

说明：式子中的x都是未知数。

观察讨论这些式子中哪些是等式？这些等式有什么共同点？

学生交流小结：有两个是等式，两个不是等式；两个等式都含有未知数。

教师揭示方程的意义，像x+50=150，2x=200这样含有未知数的等式叫方程。指导学生比较50+50=100，x+50=150，2x=200这三个等式，体会等式与方程的逻辑关系。

环节三：认识方程与等式的关系

小结：方程是一种特殊的等式。

2.反思

但是在随后的练习反馈中，部分学生对于方程与等式的关系理解不够透彻，有的学生认为以下两种答案是正确的。

笔者认为出现这样的情况，主要是前面部分的教学有如蜻蜓点水，导致学生对方程和等式这两个概念的认识不够，笔者的“一带而过”导致学生在板块中分不清两者之间的包含关系，其实就是因为初学时没有能够让所有的学生好好体会这两个概念，笔者关注学生的已有经验不够，导致他们不能完整、清晰地表达出这两个概念的本质关系。随后，笔者查了一些资料，基于杜宾斯基的APOS理论，一个数学概念的图示，有相应的活动程序、对象以及某些原理相联系的其他图示。所形成的一种个体头脑的认知框架，数学课堂教育应关注于学生是如何学习数学的，以及什么样的教学计划可以帮助这种学习。笔者想到要设计活动，让学生自己内化概念。课标明确指出分类是一种重要的数学思想。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程，教学活动中要使学生逐步体会为什么要分类，要如何分类，如何确定分类标准，在分类过程中如何认知对象的性质，如何区分不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟，分类是一种重要的思想，学会分类可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。笔者决定修改教案，于是第二次笔者是这样设计的：

二、改变与反馈

1.改变

环节一：看天平写式子

回忆：天平如何称物体？怎么知道天平是否平衡？

师：看图，用式子表示天平两边质量大小。

生：50×2=100。

师：根据这4个天平，你能写出哪些式子？

生：x+50＞100,x+50=150,x+50＜200。

（教师增加几个天平，让学生自己独自写式子）

……

师：像这样，天平平衡时，我们写出的式子是等式。

环节二：分类并讨论

活动任务：

（1）将刚才写出的所有式子进行分类。

（2）在小组里说一说，自己分类的标准是什么？是如何分类的？

第一次汇报：

生：将式子分成等式和非等式。

师：把等式再分类，你会如何分？

生：含有未知数的和不含未知数的。

师：分出这些，经过了几次分类？

第二次汇报：

生：将式子分为含有未知数的和不含未知数的。

师：将含有未知数的式子再进行分类，可以怎么分？

生：等式和非等式。

师：分出这些，经过了几次分类？

环节三：理解方程的意义

师：无论按哪种分类标准，最后的结果都是经历了两次分类，最后都得到了一类“含有未知数的等式”，这就是方程。

2.反馈

与最初的教案设计相比，看似只多了“分类”的活动，但是效果是完全不同的，学生通过自己的分类活动将概念内化，通过四个步骤：①揭示概念的本质属性给出符号；②对概念进行分类；③巩固概念，利用概念的定义进行简单识别活动；④用概念解决问题并建立联系，采用“属+种差”的概念同化方式，实实在在地提高了学生学习数学知识的能力。学生通过了两次分类过程：一次是把式子分为等式与非等式，另一次是含未知数和不含未知数的等式，这两次的分类标准，正巧就是方程含义的两大特征。汇报环节也是经过考虑的，第一次先分为等式和非等式，然后分为含未知数和不含未知数；第二次是先按是否含有未知数，再按照是否是等式来分类，目的在于让学生体会无论按哪种分类标准，最后的结果都是经历了两次分类，都得到了一类含有未知数的等式。在分类的过程中，提升了学生的逻辑思维能力，让他们在分类操作中体验等式与方程的本质与特征，让教学变粗糙为精致，最终让学生对等式与方程的含义由模糊逐渐变为清晰。

充分利用分类这一活动提升了学生的活动经验。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验，是数学教学的重要目标，是学生不断经历和体验各种数学活动的结果。♪