数学分析中的“微分”概念教学创新探究

唐树安，李俊

（1.贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳 550001;2.安顺学院数学科学学院，贵州安顺 561000）

《数学分析》这门课是大学数学专业必修的最重要的基础课之一，它是进一步学习其他数学知识的基础，也是中学数学的进一步加深。这门课程学生反映普遍感到比较困难，是因为其概念的高度抽象性和证明的高度严谨性。这门课程的最大特点是它的所有概念都是需要用自己的一门语言来描述，也就是ε-N和ε-δ语言。例如极限、连续、可导以及级数的收敛等等。要想掌握《数学分析》这门课程，就得吃透这些概念，就得掌握好这门语言。但是“微分”这个概念是一个例外，它的最开始的定义并没有用极限的语言，它的出现是早于极限理论的。这样学生就会感到很不适应，因为我们的大学《数学分析》教材基本上是按照极限、可导、微分这样的顺序来安排。学生感到很困惑，既然“可导”和“可微”是“一样”的，那为什么还要引入这样的不好理解的概念？这样就给上这门课的教师提出了问题，应该怎么讲“微分”的概念才能帮助学生更好的理解呢？他们遇到的这些问题如何在教学中去解决？一些专家学者在这方面做了一些深入的思考[1-4]。本文将从概念的引入、概念的质疑以及一些重要应用几个方面来探究这一概念的教学。

1 “微分”概念的引入

很多学生反映说提起“微分”就有点害怕，一头雾水，甚至对这个符号都特别排斥和不理解。有学生干脆直接将它等同于可导，但是到了多元函数部分是就出问题了。其实，这是可以理解的，因为“微分”这个概念最开始的定义是模糊的。微积分的发展历史上，是先有微分，后有极限理论，才利用极限理论引入导数这个概念，而现在依然是用微分一开始就使用的符号来表示。我们首先来看看莱布尼茨是如何定义微分的：Δx没有达到零，Δx的“最终值”不是零而是一个“无穷小量”，也即是被称为“微分”的dx，类似的，Δy也有最终的无穷小值dy，然而这两个无穷小微分的真正的商又是一个普通的数，。这样的定义让人感觉模糊和混乱，例如我们来求函数y=x2的微分。首先考虑一个无穷小量dx，然后观察自变量由x变为x+dx时函数值得变化dy=（x+dx）2-x2=2xdx+（dx）2，再考虑函数值的变化与自变量变化dx的比值，而dx是一个无穷小量，可以忽略不计，所以有。这是一个矛盾的推导，因为dx首先作为不为零的无穷小量去除另外一个量，而后来又作为一个等于零的量而舍去。

这样使得“微分”这个概念非常难懂，事实上，如果我们把这些符号理解为当dx→0时导致dy→0的极限过程，那对于有极限理论训练的人来说，就没有多大的困难了。因此在我们的课堂上，如果一开始就告诉学生微分的定义的发展史，这样会引起更多的困惑，也会打乱现行教材的内容构建体系。因为之前已经严格建立了极限理论，我们认为用如下研究式的教学引入是一个学生比较容易接受的方法。

设函数f（x）在一点x0处可导，则当Δx→0时，有：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0）Δx+o（Δx）

这里o（Δx）是比Δx更高阶的无穷小。这就说明在函数f（x）在一点x0处可导的条件下，其函数值的改变量Δy在x0附近可以近似的用一个自变量的改变量的线性函数f'（x0）Δx来代替。自然的，我们想去掉函数可导这个条件，去研究这样一类函数，它具有如下性质：

你可以找到一个数A，使得当时Δx→0，函数f（x）在x0处满足如下等式：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+o（Δx）.

我们给具这样性质的函数f（x）一个名称，也即是说函数f（x）在x0处是可微的，并用记号df=dy=AΔx表示f（x）在x0处的微分。一个简单而重要的例子是y=f（x）=x，由微分的定义，我们得到Δy=dy=dx=Δx

这样引入的一个好处是给学生一个感觉，可微性并不是那么看不见摸不着，我们仅仅是在寻找一种函数，这种函数具有可导函数的某些性质，并给这类函数命个名而已。而且，这种研讨式的引入会自然引导学生去思考如下问题：常数A是什么？函数在不同的点，A是不是不一样？这样的函数在x0附近有什么性质？它与函数的连续性、可导性有什么关系？如果函数是可微的，如何求它的微分呢？dy仅仅是一个记号，还是有别的含义呢？

2 “微分”概念的质疑

从函数的微分的定义可以看出以下特点：它是一个微小的改变量，与函数的增量Δy差一个较Δx的高阶无穷小。它是关于自变量x的改变量Δx一个线性函数，也是关于自变量x的函数。

一般来讲，一个一元函数在一点的导数就是一个具体的数，而在一点的微分是关于自变量x的改变量Δx一个线性函数，这让学生一下子理解不过来。其实函数在一点的导数是指函数在这一点的变化率，而一点的微分仅仅是函数在这一点的微小的改变量。

学生很难区分可导和可微两个概念，其实这两个概念要在多元函数中才能区分开来。在一元函数中，可微而可导是两个等同的概念，即可微和可导是等价的。但在多元函数中，可微与可导（偏导数）是有区别的。如果函数z=f（x，y）在一点（x0，y0）处可微，则其关于x和y的两个偏导数存在，但是如下反之不成立，见文献[2]。

3 一些重要应用

有些学生很困惑，为什么要学习微分，有什么用呢我们在这一小节就来谈谈微分的用处。在文献[1]中作者介绍了如何借助于微分来记忆求导公式，如何借助于微分的逆运算来求积分以及微分在近似计算中的应用等。我们这里主要想谈谈两个应用，第一个就是在微元法中的应用，其次是如何借助于微分来理解记忆Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。

微元法也是学生颇感头痛的一个知识点，很多学生都是掌握不了要点，不会使用，以至于在定积分应用这一块内容上学的不扎实。究其原因，其实是对微分这个定义没有抓到本质，没有融会贯通的原因。我们先来看看微元法是什么。

假设我们要求出一个量S，它与区间[a，b]有关，当[a，b]给定后，S是一个确定的量，这个量对这个区间具有可加性，也即是对任意分割T：a=x0＜x1＜···＜xn=b，子区间[xi-1，xi]=DSi（i=1，2···，n），则。任取小区间，如果其所对应的部分量满足ΔSi=f（ξ）dx，（ξ∈[x，x+dx]）且f（x）是[a，b]上的一个连续函数，则我们有ds=f（x）dx并且。这里学生不理解为什么ds就等于f（x）dx了其实这就是微分的定义，因为ΔSi=f（ξ）dx=f（x）Δx+（f（ξ）-f（x））Δx，而由函数的连续性，当Δx→0时，（f（ξ）-f（x））Δx=0（Δx）所以我们得到ds=f（x）dx。

例如我们求由连续曲线y=f（x）（x∈[a，b]），x轴以及直线x=a，x=b所围的面积。首先我们所求的面积这个量满足微元法的条件，现在任意取小区间[x，x+dx]∪[a，b]，则所对应的面积ΔSi会落在mΔx和MΔx之间，这里m，M分别是函数f（x）在区间[x，x+dx]上的最小值和最大值，由连续函数的介值性定理，存在点ξ∈[x，x+dx]使得ΔSi=f（ξ）dx。于是由微元法，我们得到所求的面积为。

借助于微分，在龚升的教材[4]中处理了Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。建议在课堂上也进行这样的处理，这样既可以帮助学生进一步加深对微分这个概念的理解，也可以从中看到微分的重要应用。下面先来看看这三个公式的形式：

Green公式 设Ω是有平面上封闭曲线Γ所围成的闭区域，函数p（x，y）和q（x，y）在Ω上具有一阶连续偏导数，则

Stokes公式 设Ω是空间中以封闭曲线Γ为边界的曲面，函数p（x，y，z），q（x，y，z）和r（x，y，z）具有一阶连续偏导数，则

Guass公式 设V是空间封闭曲面Ω所围成的闭区域，函数函数p（x，y，z），p（x，y，z）和r（x，y，z）在V上具有一阶连续偏导数，则

可以把微分d理解成一种运算，且规定ddx=ddy=dddz=0.定义微分dx与dy的外乘积为dxʌdy，满足dxʌdy=-dyʌdx。于是有dxʌdx=0。我们称一个函数的零阶微分是它本身，ω=pdx+qdy+rdz为一阶微分，ω=Adxʌdy+Bdyʌdz+Cdzʌdx为二阶微分，ω=Edxʌdyʌdz为三阶微分。于是我们有Green公式，Gauss公式以及Stokes公式的统一形式：，这里əΩ表示Ω的边界。这样的话，学生就不再混淆这三个公式了。