改进的最优小波基选取方法与跳频信号检测研究

郑 洋，陈西豪，朱 锐

（空军工程大学信息与导航学院，西安 710077）

0 引言

随着计算机技术向军事领域的不断渗透，电磁环境的复杂度也在日益增大，进而给通信对抗带来极大的挑战[1]。在这种条件下，抗干扰性强、组网能力强的跳频通信必然会在军事通信与通信对抗中发挥重要作用。为了在通信对抗中占据优势，开展对非合作条件下跳频信号检测技术的研究，具有重大的理论意义与实际价值[2]。

时频分析[3]是检测跳频信号的主要方法，对于获取跳频信号的信息具有极大的帮助。但是，窗函数的存在使得时间分辨率和频率分辨率难以有效兼顾。针对这个问题，文献[4]提出了一种基于小波分解与希尔伯特-黄变换的方法，极大地提高了检测效果。小波分解与重构对接收到的跳频信号进行去噪处理，但是为了取得最佳的去噪效果，需要对最佳小波基以及最佳分解层数进行研究确定。文献[5]通过分解重构过程中信噪比的变化情况来确定最优分解层数。随着分解层数的增加，噪声在重构信号的比重先下降后上升，因此，信噪比呈现出先增大后减小的趋势，利用信噪比的这种变化情况，有效地确定了最佳的小波分解层数。

对于最优小波基的选取，文献[6]将几种常用的小波去噪评价指标进行融合。首先按照需求筛选合适的指标，然后作归一化处理并进行组合。这种融合的方法在信号真值已知的条件下，对小波去噪质量评价和最优小波基的选取有十分有效的指导作用。但对于非合作通信条件下接收到的跳频信号而言，信号真值是未知的，接收到的是信号与噪声的混合信号，因此，这些以信号真值已知为条件的评价指标和指标融合的方法就失去了应用条件[7]。

评价小波去噪质量还有一种方法是信噪比与信噪比增益的方法[8]。这种方法不需要原始信号的信息，在信噪比未知的情况下也同样适用，但在非合作通信条件下，信号真值未知，该方法失去了应用的条件。本文改进了这种方法，在每次分解重构后对重构信号的信噪比进行盲估计，通过对比几种常用的小波基的结果，分析并选择最优小波基。仿真实验证明，该方法极大地提高了非合作通信条件下跳频信号去噪小波基选取的准确性。

1 信号模型

本文的跳频信号模型为：

式中，s（t）是跳频信号，n（t）是均值为 0，方差为 σ2的高斯白噪声，跳频信号和高斯白噪声相互独立，其中

式中，t为观测时间；T0为跳频信号起跳时间；Th为跳频周期；fk是第k个时隙的跳频频率。rectTh表示时间宽度为Th的矩形窗函数，其表达式为：

基于小波分解与希尔伯特-黄变换的跳频信号检测方法的思想为：首先用小波分解对接收到的跳频信号去噪处理，然后通过希尔伯特-黄变换实现检测。为了达到最佳的去噪效果，在用小波去噪时需要重点解决两个问题：最佳分解层数确定和最优小波基选取。对于最佳分解层数的确定，文献[9]中已经作了一定的研究并得出了指导性的结论。本文就最优小波基的选取进行深入研究。

2 最优小波基选取

用小波变换对跳频信号进行去噪，其实是利用小波的多分辨率特性对跳频信号进行分解，即通过小波变换将原信号分解为原信号频段内不同频率的信号。分解后，有用的信号留在低频部分，而高频部分多属于噪声。然后利用这个特点对高频信号部分进行处理，达到去除噪声的目的。最后重构剩余信号，得到去噪后的信号[10]。

2.1 传统评价指标

在利用小波变换去噪时，选择不同的小波基，就会得到不同的变换结果。对跳频信号，如何确定最优小波基来保证最佳的去噪效果，这就需要一个评价准则来指导选择最佳小波基。当前，评价小波去噪质量的指标有：均方根误差、平滑度、互相关系数和信噪比与信噪比增益。

2.1.1 均方根误差（RMSE）

均方根误差指经过分解并重构之后的去噪跳频信号与原始跳频信号的均方误差，即：

2.1.2 平滑度

平滑度是指在信号足够长时，去噪信号一阶差分的方差根与原始信号一阶差分的方差根之比，记为r，表达式为：

平滑度反映了去噪信号的平滑程度，信号越光滑，平滑度的值就越小，去噪效果越好。

2.1.3 互相关系数

互相关系数指去噪信号和原始信号两种信号之间的相似度，记为R，表达式为：

R值越大，则去噪效果越好。

2.1.4 信噪比和信噪比增益

信噪比是指原始信号能量与噪声能量的比值，记为SNR，其表达式为：

其中，ps是信号功率，pv是噪声功率。信噪比增益是指去噪后的信号信噪比与原始信号信噪比之比，记为GSNR，其表达式为：

其中，SNRdn是去噪后的信号的信噪比，SNRn是原始信号的信噪比。实际情况下，SNR和GSNR的值越大，去噪效果越好。

2.2 多指标融合的小波去噪质量评价方法

每个评价指标描述的是小波去噪不同方面的性能，单一的评价指标无法对小波基的选取做出合理指导。为了最大限度地满足小波去噪质量评价需求，进而有效地选取最佳小波基，在信号真值已知的情况下，文献[11]将这些评价指标进行筛选并优化组合。其思想是：首先选取从不同角度衡量去噪效果的指标，保证评价体系的全面性；同时考虑所选指标的值与评价效果的相关性，以正相关为宜。然后归一化处理并进行简单组合。具体做法如下：

PRMSE、Pr分别为归一化后的均方根误差和平滑度参数。设通过组合得到的新的评价指标为H，则

H值越小，小波去噪效果越好。

2.3 改进的最优小波基选取方法

当信号真值已知时，上述方法对于评价小波去噪效果有重要的指导意义，但在非合作通信条件下，接收到的跳频信号是带有噪声的混合信号，原始信号是未知的，此时上述方法失去了使用的先决条件。故本文改进了信噪比与信噪比增益的方法。利用信噪比盲估计来分析分解重构过程中信噪比和信噪比增益的变化情况，进而分析小波对跳频信号的去噪效果，并确定最佳分解层数。此时，信噪比与信噪比增益的表达式分别为：

3 基于协方差矩阵分解的信噪比估计

对接收信号采样得：

其中，k为抽样时间点。

由于跳频信号和噪声是独立分布的，且噪声为高斯白噪声，因此，采样信号的协方差矩阵即为其自相关矩阵：

式中，H表示共轭转置；自相关矩阵Rxx为m阶方阵。

由于相关矩阵Rxx、Rss以及Rnn都是对称矩阵，故可以进行奇异值分解（SVD）：

其中，

V是正交矩阵。则：

式中，由m个对角线元素张成的空间被称为含噪信号空间，由前p个元素张成的空间被称为信号子空间，后m-p个元素张成的空间被称为噪声子空间。则信号功率和噪声功率可表示为：

则接收信号的信噪比为：

由于上式中的噪声功率包含了信号带以外的噪声功率，而在实际情况下，对接收信号滤波处理后，只含有带内噪声，此时信噪比应调整为：

然后需要对信号空间维数p进行估计，文献[12]提出了一种最小描述长度准则（MDL）：

其中，

则信号空间的维数p表示为：

将其带入式（21），得到信噪比估计值。

在用协方差矩阵估计信噪比的过程中，需要构造自相关矩阵、计算奇异值等，具体过程如下：

N为信号序列长度，m为相关序列长度，它的取值会对自相关矩阵的估计产生影响，实验证明，m一般取40～100比较合适。

5）计算信噪比。

4 基于W-H的跳频信号检测算法

现有的跳频信号检测方法在去抗噪性以及时频聚集性方面有待改进，据此提出了基于W-H的跳频信号检测算法。该方法结合了小波去噪与希尔伯特-黄变换的优点，算法流程如下：

1）利用小波分解去除混合信号中的噪声；

2）将剩余信号进行小波重构，得到去噪后的信号；

3）利用希尔伯特-黄变换处理去噪后的信号，实现跳频信号检测。

5 最优小波基选择流程

1）对接收到的跳频信号进行信噪比估计，计算接收信号的信噪比；

2）对接收的跳频信号进行1层小波分解，并进行重构，然后计算重构信号的信噪比，并计算信噪比增益；

3）继续2层小波分解并重构，计算重构信号的信噪比，并计算信噪比增益；

4）对跳频信号进行3层小波分解并重构，计算重构信号的信噪比，并计算信噪比增益；

5）比较得到的信噪比和信噪比增益，分析筛选最优小波基。

为了实验的可靠性和准确性，本文还设立了一组对比试验，在同等条件下原始信号已知的情况下，利用多指标融合的小波去噪质量评价方法进行仿真试验并与本文方法的结果进行对比。

6 仿真实验分析

分别按照两种方法进行仿真试验，结果如下：

表1 小波基‘coif4’的实验结果

表2 小波基‘sym6’的实验结果

表3 小波基‘db40’的实验结果

表1～表3分别是3种常用的小波基分解3次后，按照融合指标方法和信噪比与信噪比增益方法分析得到的数据结果。由表中数据可知，随着分解层数增加，按照融合方法得到的指标参数不断减小；信噪比和信噪比增益不断增大。因此，按照信噪比与信噪比增益的方法，应该选择‘db40’为最优小波基；按照指标融合的方法，‘db40’小波也是最优小波选择。也就是说，在非合作通信条件下，选取‘db40’小波为跳频信号去噪的最优小波基。这个结果与已知信号真值情况下融合方法得到的结果一致。

通过仿真实验发现，改进的最优小波基选取方法较多指标融合的小波去噪质量评价方法更加简单迅速。

据此，本文选取‘db40’小波为跳频信号小波去噪的小波基，并对跳频信号进行检测。实验结果如图1、图2所示。

图1 短时傅里叶变换

图2 W-H算法

从仿真结果中可以看到，利用W-H算法检测的跳频信号在抗噪性与时频聚集性两方面的性能优于常用的短时傅里叶变换。同时也证明了改进的最优小波基选取方法在选取最优小波基方面有较好的性能。

7 结论

本文在小波分解与希尔伯特-黄变换的跳频信号检测方法的基础上，对小波去噪过程中的最优小波基的选取作了深入研究。通过对分解过程中重构信号信噪比的盲估计，利用改进的信噪比与信噪比增益的方法对小波基进行筛选，解决了非合作通信条件下，传统小波去噪质量评价方法因信号真值未知而无法使用的问题，对非合作通信条件下最佳小波基的选取问题提供了新的解决方案。同时将其应用到跳频信号检测中，仿真实验证明了该方法极大地提高了跳频信号检测的性能。