基于数学建模核心素养下的课本应用拓展题的思考

江苏省海门中学

朱建军 (邮编：226100)

数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本文将通过在2019届的一次四大市调研测试中的应用题，介绍以平面几何为载体的应用问题的思维路径及解决办法.

1 题目

(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；

(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.

图1图2图3图4

(第18题)

2 解决路径

思路1 通过建立直角坐标系，利用三角函数的定义建立数学模型.

(1)如图，过O作与地面垂直的直线交AB、CD于点O1、O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．

答：拱门最高点到地面的距离为5m．

(2)在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．

当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．

由(1)知，在Rt△OO1B中，

以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．

解题反思很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直角坐标系，把要解决的问题放在坐标平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立数学模型(函数模型、不等式模型等)，运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此类问题还通常涉及确定最优解的点的位置.

思路2 通过讨论点P在圆弧CD上的不同情况，建立三角形模型，借助解三角形、辅助角公式求出最值.

由(1)知，在Rt△OO1B中，

如图，过点D作DE⊥l，垂足为E，过点C分别作DE、l的垂线，垂足为G、F．

所以h=DE=DG+CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

在Rt△CGD中，∠CDG=θ，

解题反思涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是结合实际问题，明晰解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决．

思路3 构建与思路2不同的三角形模型，优化解题过程.

此时拱门上的点到地面的最大距离为h=R+OE．

过O作OG⊥CF，垂足为G，则OE=GF，在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

此时拱门上的点到地面的最大距离为h=R+OE．

过C作CG⊥OE，垂足为G，则GE=CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

3 追本溯源

本次调研测试中所考查的应用题改编自苏教版必修四P125的“链接”.模型摘录如下：

(2)矩形ABCD所在平面与地面垂直，A点在地面上，AB=a,BC=b,AB与地面成θ角(如图所示).若记点C到地面的距离为h,试用θ的函数表示h,并求出h的最大值。

4 反思教学

4.1 《课程标准》强调发展和培养学生的数学应用意识.数学建模是提高核心素养的一种非常重要的形式，通过建模教学，可以提高学生逻辑思维和抽象思维能力，能真正培养学生分析问题、解决实际问题的能力.教学中教师一定让学生真正经历数学建模过程，运用数学的方法对材料加工分析，大胆地猜想和不断地提出问题，从而激发学生兴趣和热情，进一步培养学生创新意识和创造才能.

4.2 重视教材的理解和挖掘.

课程标准规定了教育的内容.教材文本内容是课程标准内容的具体化，是教材编写者们把自己对课程标准内容的解读通过文本的方式呈现出来的方式之一，教材文本的内容也能体现教材编写者们对课程标准理解的层次和深度.作为一线教师在研究课程标准的同时，更要解读教材文本的内容，理解教材编写者们的意图，深入挖掘内涵与本质.也只有当我们真正地把握住了课标和教材的意图，在教学的过程中就可以脱离教材文本的束缚，从而实现用教材教而不是教教材.

总之，数学源于生活，体现于生活，在应用问题的教学过程中，教师应当善于使用建模思想，引导学生将应用问题进行归类，增强学生的建模能力，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，从而实现从数学知识的传授走向数学核心素养的生成.