基于扩展传染病模型的异质传感网恶意程序传播建模与分析*

沈士根,周海平,黄龙军,冯 晟,刘建华*,张 红,曹奇英

(1.绍兴文理学院计算机科学与工程系,浙江 绍兴 312000;2.东华大学计算机科学与技术学院,上海 201620)

同质传感网中要求所有传感器节点具有相同能量、通信和计算能力,而异质传感网中传感器节点的计算

资源可以不尽相同,因此,异质传感网是传感器节点组网的主要方式。相比较而言,异质传感网在网络生存期、网络稳定性和网络可靠度方面具有更好的性能,已广泛用于智慧城市、智慧医疗、智慧农业、智慧工厂等领域。

然而,由于传感器节点计算资源有限,不可能配置高强度的安全防御措施,使得恶意程序在异质传感网中容易传播,这已成为异质传感网中的主要安全问题之一[1-9]。恶意程序一旦在异质传感网中广泛传播,它们将窃听传感器节点感知的数据,干扰正常的数据感知过程,甚至破坏传感器节点,造成异质传感网服务可用性和数据保密性无法保证。面对异质传感网中的恶意程序传播,如何构建恶意程序传播模型并揭示恶意程序传播规律是抑制异质传感网恶意程序传播首要解决的问题。

当前,国内外学者面对传感网恶意程序传播问题,提出了一些恶意程序传播模型。付帅等人[10]针对同质传感网,在考虑传感器节点休眠与唤醒情况下提出了一种SIR/WS(Susceptible-Infected-Removed/Wake-up-Sleep)模型。王小明等人[11]针对移动传感网提出了一种SID(Susceptible-Infected-Dead)模型。胡金涛和宋玉蓉[12]面对同质传感网,在考虑旋转有向天线的基础上提出了一种SEIRS(Susceptible-Exposed-Infected-Removed-Susceptible)模型。曹玉林等人[13]针对移动传感网,提出了一种SIRD(Susceptible-Infected-Removed-Dead)模型。周海平等人[14]基于博弈论给出了传感网恶意程序的传染概率,建立了一种SI(Susceptible-Infected)模型。Keshri等人[15]将网络中的节点度区分为高和低两种类型,给出了一种SEIR(Susceptible-Exposed-Infected-Removed)模型。Nowzari等人[16]使用任意有向图刻画异质节点,并提出了一种SEIV(Susceptible-Exposed-Infected-Vaccinated)模型。Eshghi等人[17]根据一个传感器节点与其他传感器节点具有不同的接触率进行分簇,从而反映异质特性,并提出了一种SIR模型。Yang等人[18]根据网络拓扑的异质性提出了一种SIRS模型。但是,上述这些模型要么未反映异质特性,不适用于异质传感网,要么不能反映异质传感网中传感器节点能量耗尽或者物理损坏时将失去所有功能的状态,以及一个异质传感器节点被检测到存在恶意程序而被隔离的状态。

为了解决上述问题,本文扩展传统的SIR传染病模型,提出一种新颖的异质传感网恶意程序传播模型,实现异质传感网恶意程序传播的建模与分析。首先,分析异质传感器节点的状态转换关系。其次,建立能反映具有不同度的异质传感器节点状态动态变化的微分方程,得到一种能反映异质传感网恶意程序传播的HSIORD(Heterogeneous Susceptible-Infected-isOlated-Removed-Deceased)模型。然后,计算HSIORD模型的稳定点和基本再生数。最后,证明HSIORD模型稳定点的稳定性,为抑制异质传感网恶意程序传播提供理论指导。本文创新点包括:

①以一个异质传感器节点的度(即与其通信的节点数)来反映该节点的异质特性。这样,即体现了异质传感网的异质特性,又恰当地反映了异质传感网的实际通信情况。

②在传统SIR传染病模型基础上,根据异质传感网特性增加状态O和D得到了一种包含S、I、O、R、D5种状态的新模型HSIORD。这样,一方面通过状态O可以反映一个异质传感器节点被检测到存在恶意程序而被隔离的情况,另一方面通过状态D可以反映一个异质传感器节点能量耗尽或者物理损坏导致其失去所有功能的情况。

③通过证明HSIORD模型稳定点的稳定性,找到了决定异质传感网恶意程序是否传播的条件,从而为抑制异质传感网恶意程序传播提供理论指导。

1 异质传感器节点的状态转换关系

传统SIR传染病模型仅包含S、I、R3种状态,本文根据异质传感器节点的特性,扩展传统SIR传染病模型得到一种包含S、I、O、R、D五种状态的新模型。

当一个异质传感器节点具有系统漏洞但未被恶意程序感染时,其状态属于S。当一个异质传感器节点已被恶意程序感染并能通过传输数据和控制信息感染与其通信的节点时,其状态属于I。当一个异质传感器节点被检测到存在恶意程序而被隔离时,其状态属于O。当一个异质传感器节点安装补丁程序后对当前恶意程序具备免疫能力时,其状态属于R。当一个异质传感器节点能量耗尽或者物理损坏导致其失去所有功能时,其状态属于D。

图1给出了一个异质传感器节点受不同因素导致的各状态转换关系模型。对于处在状态S的一个异质传感器节点,若由于恶意程序传播导致其被恶意程序感染并且具备感染其他节点的能力,则其状态从S转换到I。对于处在状态I的一个异质传感器节点,若管理员通过安装安全补丁使得该节点对现有的恶意程序具有了免疫力,则其状态从I转换到R;若管理员通过使用安全软件将该节点隔离,则其状态从I转换到O。对于处在状态O的一个异质传感器节点,若管理员通过使用安全软件清除了该节点中的恶意程序并安装安全补丁后,使得该节点对现有的恶意程序具有了免疫力,则其状态从O转换到R。对于处在状态R或O的一个异质传感器节点,若遇到未知的恶意程序,其将缺乏免疫力,则其状态从R或O转换到S。另外,任何一个异质传感器节点由于能量耗尽或者物理损坏,都将使其状态转换为D。

图1 异质传感器节点的状态转换关系模型

2 异质传感网恶意程序传播模型

设一个异质传感网共包含M个传感器节点,则一个异质传感器节点能与i(1≤i≤M)个其他异质传感器节点进行通信,也就是说,一个异质传感器节点的度为i。记Si(t)、Ii(t)、Oi(t)、Ri(t)、Di(t)分别表示度为i的异质传感器节点在时刻t处于状态S、I、O、R、D的比例,则易得:

Si(t)+Ii(t)+Oi(t)+Ri(t)+Di(t)=1

(1)

记α表示度为i的异质传感器节点初始处于状态I的比例,也就是说,

Ii(0)=α, 0<α<1

(2)

设度为i的异质传感器节点初始处于状态O、R、D的比例分别为0,也就是说,

Oi(0)=Ri(0)=Di(0)=0

(3)

这样,可以得到:

Si(0)=1-α

(4)

记ξi(t)表示度为i且处于状态S的一个异质传感器节点在时刻t与已被恶意程序感染的异质传感器节点进行通信的概率,则:

(5)

式中,表示整个异质传感网的平均度,δi表示一个异质传感器节点拥有度i的概率,ϑi表示度为i且已被恶意程序感染的一个异质传感器节点感染其他未感染的异质传感器节点的概率。显然,这些参数满足条件:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

3 异质传感网恶意程序传播模型的稳定性分析

3.1 异质传感网恶意程序传播模型的稳定点

通过计算异质传感网恶意程序传播模型HSIORD的稳定点,能够确定异质传感网中恶意程序传播或消亡的阈值,因此,对抑制异质传感网恶意程序传播起指导作用。从数学意义上讲,HSIORD模型的稳定点表示给定一个特殊时刻t*后,对∀t≥t*,模型中的变量Si(t)、Ii(t)、Oi(t)、Ri(t)、Di(t)将保持不变。由此,可以得到定理1。

定理1异质传感网恶意程序传播模型HSIORD存在稳定点。

证明一旦HSIORD模型达到稳定点,就意味着各个状态的变化率为0,因此,HSIORD模型的稳定点实质就是令微分方程(8)～(12)等于0后组成的方程组的解,即求解下列方程组的解。

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中,

(24)

证毕。

3.2 异质传感网恶意程序传播模型的基本再生数

(25)

(26)

最终,可得到HSIORD模型的基本再生数β为:

(27)

3.3 HSIORD模型稳定点的稳定性分析

由于Di(t)=1-Si(t)-Ii(t)-Oi(t)-Ri(t),因此,在分析HSIORD模型稳定点的稳定性时,式(12)可以略去,也就是说,只需要分析包含式(8)～式(11)的稳定点的稳定性。

证明根据常微分方程的稳定性定理[20],一个稳定点是局部渐近稳定的,当且仅当该稳定点的雅可比行列式的所有特征值小于0。因此,首先计算包含式(8)～式(11)的雅可比矩阵J为:

(28)

(29)

记λ表示特征值,H表示单位矩阵,则J(E1)的雅可比行列式为:

(30)

经过计算,可以得到所有的特征值为:

(31)

(32)

(33)

(34)

4 实验仿真与分析

使用MATLAB R2018a,通过实验对提出的异质传感网恶意程序传播模型HSIORD进行验证。实验思路是先将以微分方程形式描述的HSIORD模型转换成离散方程形式,即:

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

式中,Δt表示时间间隔。这样,就可以用Runge-Kutta方法求解以离散方程形式表示的HSIORD模型。

当α值分别为10%、20%、40%时,图2～图6给出了异质传感器节点分别处于状态S、I、O、R、D的比例的变化趋势。其中,有一个共同点是在初期15天左右,各个状态的比例在不同的α取值下变化很小。

图2 异质传感器节点处于状态S的比例的变化趋势

图3 异质传感器节点处于状态I的比例的变化趋势

图4 异质传感器节点处于状态O的比例的变化趋势

图5 异质传感器节点处于状态R的比例的变化趋势

图6 异质传感器节点处于状态D的比例的变化趋势

5 结论

在扩展传统SIR传染病模型基础上,本文提出了一种异质传感网恶意程序传播建模与分析方法。通过使用一个异质传感器节点的度来体现该节点的异质特性,恰当地反映了异质传感网的实际通信情况,解决了未反映异质特性的现有模型不适用于异质传感网的问题。分析得到的异质传感器节点状态转换关系图给出了一个异质传感器节点受不同因素导致的各状态转换关系,解决了现有模型不能反映异质传感网中传感器节点能量耗尽或者物理损坏情形以及一个异质传感器节点被检测到存在恶意程序而被隔离情形的问题。以微分方程形式建立的异质传感网恶意程序传播模型HSIORD反映了具有不同度的异质传感器节点状态的动态变化过程。计算得到的HSIORD模型的稳定点和基本再生数确定了异质传感网中恶意程序传播或消亡的阈值。给出的HSIORD模型稳定点的稳定性证明以及相应的实验验证,为管理员抑制异质传感网恶意程序传播提供了理论指导。