关于数轴上的动点压轴题的研究

吴坤

初一上学期，学生从小学进入到中学一个过渡及转变的时间，学生的知识体系也在逐渐的完善和加深，在数学学习上，到期末，学生最怕的一类题型即为数轴上的动点题，遇到这类题目，只需要理解并应用两个“把握”，绝大部分的数轴上的动点题都可以迎刃而解。

孩子们从小学升上初中，学习的知识体系也随之发生了改变，数学从原来的单纯数的内容，渐渐的向代数与几何两部分演变。而在初一年上学期最让学生抓狂的就属数轴上的动点题和几何中的“动角”题了，其实，这两类题型都有其解题技巧，只要掌握了这些技巧，解这些题目就会得心应手，也就能撕破这些“纸老虎”啦。

那么，我们今天就来讲讲第一类压轴题型，数轴上的动点题，我们先拿下面这个例题来进行分析，从而归纳总结这类压轴题的解题方法。例题如下：

例：如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数軸向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（t>0）

（1）A，B两点间的距离AB=           ，线段AB的中点表示的数为        。

（2）求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数;

（3）求当t为何值时，;

（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出线段MN的长。

首先，这里先补充两个知识点：

1、若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B

两点之间的距离AB=︱a-b︱;

2、线段AB的中点表示的数=。

从而，第一题的答案就比较明显，AB=︱-2-8︱=︱-10︱=10，线段AB的中点表示的数=。

接下来，先介绍一下数轴上的动点题该怎么解决，就是两个把握：

1、把握住每个动点所代表的数为什么;

2、把握住涉及到的线段，用绝对值的形式来表示。

根据这两个思想，（2）（3）两小题就可以迎刃而解了。我们先来研究一下第（2）题，把P，Q两点所代表的数表示出来，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，所以点P所代表的数=-2+3t，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，则点Q所代表的数=8-2t。因为P，Q两点相遇，所以P，Q两点所代表的数就一样了，所以-2+3t=8-2t，从而得到t=2，也就是当t=2时，P，Q两点相遇。具体解题步骤如下：

由题意得：点P所代表的数=-2+3t，点Q所代表的数=8-2t。

∵P，Q两点相遇

∴-2+3t=8-2t

∴t=2

∴当t=2时，P，Q两点相遇。

对于第（3）题，这里是两条线段的等量关系，， 如果要细分，就必须分为P，Q两点相遇前与相遇后来进行讨论，但是，对于线段的长度，我们用绝对值来描述就可以了，比如PQ=︱-2+3t-（8-2t）︱=︱-10+5t︱，因为，所以︱-10+5t︱=5，所以可以解得t=1或3.具体解题步骤如下：

由题意得：PQ=︱-2+3t-（8-2t）︱=︱-10+5t︱

∵，

∴︱-10+5t︱=5

∴-10+5t=5或者-10+5t=-5

∴t=3或1

∴当t=3或1时，。

对于第（4）题，按照题目的意思来理解，在P点运动过程中，P有可能在线段AB上，也有可能在B点的右侧，画出来的图形有以下两种情况：

①点P在线段AB上          ②点P在点B右侧

学生一画出图形，可能就顺着想到用几何的方法来解决，比如：

①点P在线段AB上时

②点P在点B右侧

∵M，N分别为PA，PB的中点

∵M，N分别为PA，PB的中点

综上所述：MN的长度不会发生变化，都为定值5.

但其实，这种类型的题目，不需要进行几何的讨论，只需要知道M，N两点所代表的数就可以了，然后用绝对值来衡量M，N两点之间的距离即可，我们知道P点代表的是为-2+3t，由中点的知识可以知道M代表的数=，N所代表的数=，所以MN=，所以MN的长度不会发生变化，恒为5.具体步骤如下：

由题意得：M代表的数=，N所代表的数=

∴MN=

∴MN的长度不会发生变化，恒为5

用代数的方法，比用几何的方法要简便的多。当然，题目还是需要视具体情况而定，有的时候几何的方法也会比代数的方法要来得简便。

所以，在初一上学期的数学学习过程中，在学生看来比较难的数轴上的动点题无非就是要掌握住两个“把握”， 把握住每个动点所代表的数为什么;把握住涉及到的线段，用绝对值的形式来表示。这样，90%以上的数轴上的动点题都可以轻松的解决。

（作者单位：泉州第一中学）