一类系伪Smarandache函数与混合型简数根函数方程的解

张明丽，高 丽，申江红

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

1 相关引理

引理1[8]当n≥2时，有φ(n)

引理2[3，4]：由简数定理知，

引理4[10]：对于素数p与k≥1，有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理5[10]：对于任意的正整数n，将伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m，同时满足

引理6[10]：对任意素数p≥3，Z(p)=p-1。

延安大学校级科研计划资助项目(YD2014-05)

作者简介：张明丽(1994—)，女，陕西定边人，延安大学硕士研究生。

引理7[10]：对任意素数p≥3及k∈N+，Z(pk)=pk-1；当p=2时，则有Z(2k)=2k+1-1。

引理8[10]：Z(n)非加性函数，即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m)，且Z(n)也非积性函数，即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。

2 主要结论及其证明

定理1 对于任意的正整数n，混合函数方程：

Z(n)=sim(φ(n))

仅有正整数解n=1，3，5，7，10。

证明：对于混合函数方程

Z(n)=sim(φ(n))

(1)

由引理1，主要分以下两种情形讨论：

情形一：当0

情形二：当n≥3时，φ(n)为偶数，由引理2知，此时

1.当φ(n)≡0(mod9)时，令φ(n)=18l(l∈N+)，此时sim(φ(n))=sim(18l)=9，即Z(n)=9。

1.1 当n为奇数时，由引理3—引理8，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=p，且p≥3为素数，Z(p)=p-1=9，即p=10与其为素数矛盾，故此时(1)无解。

ii)n=ps，p≥3为素数且s>1，Z(ps)=ps-1=9，即ps=10(不存在)，故此时(1)无解。

iii)n=p1s1pss2…ptst，(其中p1s1p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足n|45的只有n=45，而sim(φ(45))=sim(24)=6，与前提条件矛盾，故此时(1)无解。

1.2 当n为偶数时，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=2α，且α≥2时，Z(2α)=2α+1-1=9，即2α+1=10(不存在)，故此时(1)无解。

ii)n=2αps，p≥3为素数且α>0，s≥1，如果Z(n)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足n|45的只有n=45(为奇数)与条件矛盾，故此时(1)无解。

iii)n=2s0p2s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足n|45的只有n=45(为奇数)与条件矛盾，故此时(1)无解。

2.当φ(n)≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时，由于r=1，即Z(n)=1时，n=1归类于情形一，下面依次讨论r=3，5，7的情况。

当r=3，Z(n)=3时，n=2,6，

sim(φ(2))=sim(1)=1，

sim(φ(6))=sim(2)=2，

经验证可知此时(1)无解。

当r=5，Z(n)=5时，n=15，

sim(φ(15))=sim(8)=8，

经验证可知此时(1)无解。

当r=7，Z(n)=7时，n=4,14,28，

sim(φ(4))=sim(2)=2，

sim(φ(14))(不存在)，

sim(φ(28))=sim(12)=3，

经验证可知此时(1)无解。

2.2 当l为偶数时，r=2，4，6，8，下面依次进行讨论。

当r=2，Z(n)=2时，n=3，

sim(φ(3))=sim(2)=2，

此时式(1)有解n=3。

当r=4，Z(n)=4时，n=5,10，

sim(φ(5))=sim(4)=4，

sim(φ(10))=sim(4)=4，

此时式(1)有解n=5,10。

当r=6,Z(n)=6时，n=7,21,

sim(φ(7))=sim(6)=6,

sim(φ(21))=sim(12)=3，

此时式(1)有解n=7。

当r=8，Z(n)=8时，n=9,12,18,36,

sim(φ(9))=sim(6)=6,

sim(φ(12))=sim(4)=4,

sim(φ(18))=sim(6)=6,

sim(φ(36))=sim(12)=3，

此时式(1)无解。

定理2 对于任意的正整数n，混合函数方程：

Z(n2)=sim(φ(n2))

仅有正整数解n=1。

证明：对于混合函数方程

Z(n2)=sim(φ(n2))

(2)

由引理1，主要分以下两种情形讨论：

情形一：当n=1时，φ(n2)=1，此时

sim(φ(n2))=sim(1)=1，

而Z(n2)=1，故此时式(2)有解为n=1。

情形二：当n≥2时，φ(n2)为偶数，由引理2知，此时

sim(φ(n2))=

1.当φ(n2)≡0(mod9)时，令φ(n2)=18l(l∈N+)，此时sim(φ(n2))=sim(18l)=9，即Z(n2)=9。

1.1 当n为奇数时，由引理3—引理8，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=p，且p≥3为素数，Z(p2)=p2-1=9，即p2=10与其为素数矛盾，故此时式(2)无解。

ii)n=ps，p≥3为素数且s>1，Z(p2s)=p2s-1=9，即p2s=10(不存在)，故此时式(2)无解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n2)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足n2|45的只有n=3，而sim(φ(32))=sim(6)=6，与前提条件矛盾，故此时式(2)无解。

1.2 当n为偶数时，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=2α，且α≥2时，Z(22α)=22α+1-1=9，即22α+1=10(不存在)，故此时式(2)无解。

ii)n=2αps，p≥3为素数且α>0，s≥1，如果Z(n2)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足n2|45的只有n=3(为奇数)与条件矛盾，故此时式(2)无解。

iii)n=2s0p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n2)=9，根据Z(n)的定义，没有既满足定义又满足n2|45的n，故此时式(2)无解。

2.当φ(n)2≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时，由于r=1，即Z(n2)=1时，n=1归类于情形一，下面依次讨论r=3,5,7的情况。

当r=3，Z(n2)=3时，由于这样的正整数n不存在，故此时式(2)无解。

当r=5，Z(n2)=5时，由于这样的正整数n不存在，故此时式(2)无解。

当r=7，Z(n2)=7时，n2=4，即n=2，

sim(φ(22))=sim(2)=2，

经验证可知此时式(2)无解。

2.2 当l为偶数时，r=2，4，6，8，下面依次进行讨论。

当r=2，Z(n2)=2时，由于这样的正整数n不存在，故此时式(2)无解。

当r=4,Z(n2)=4，时，由于这样的正整数n不存在，故此时式(2)无解。

当r=6,Z(n2)=6，时，由于这样的正整数n不存在，故此时式(2)无解。

当r=8，Z(n2)=8时，n2=9,36，即n=3,6，

sim(φ(32))=sim(6)=6，

sim(φ(62))=sim(12)=3，故此时式(2)无解。