移动荷载作用下多跨梁的振动特性研究

朱伟伟

摘 要：利用传递矩阵法，在随荷载移动的动态坐标系下建立了弹性地基上带阻尼多跨梁的波传播分析模型，分析了阻尼和失谐各自单独作用以及同时存在对波动速度带的影响。研究表明，阻尼和失谐均会导致结构中发生波动局部化，随着阻尼和失谐程度的增大，波动衰减增强。在速度通带内，阻尼和失谐引起的效应可以简单叠加。对于同一阻尼系数和失谐水平，阻尼引起的衰减效应明显大于失谐所致。

关键词：周期梁 移动荷载 失谐 阻尼 波动特性

中图分类号：O327；TH113 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

实际工程中移动荷载经常出现，并使结构产生强烈的振动以及显著的变形，因此，研究结构中移动荷载引起的波传播问题得到了学术界的广泛关注，但以往的研究对象主要集中在均匀结构中。

近年来，一些学者开始致力于研究谐调周期结构中由移动荷载引起的波动传播现象。Aldraihem和Baz[1]利用有限单元法和冲量参数激振法研究了恒定移动荷载作用下谐调周期阶梯梁的动态稳定性，研究发现通过调整阶梯梁的空间间距可以改变结构的某些振动模态，从而提高其稳定性，且压电驱动器的嵌入将会使结构的稳定效果达到更佳。Ruzzene和Baz[2]针对轴对称谐调周期加固圆柱壳，计算了传递矩阵的特征值，并给出了不同移动荷载速度和结构尺寸变化对波传播动力学的影响，指出周期结构在移动荷载作用下存在传播域和衰减域，周期性地加固结构可以显著改善壳体的动态稳定性。Yu等[3]将该方法应用到弹性地基上由两种不同材料构成的谐调周期复合管系统中，研究了恒定移动荷载作用下结构的稳态振动波传播，明确指出类似于频域，速度域内同样存在振动带隙，可以利用此特性控制移动载荷下波动的传播。但是，实际工程结构总是不可避免地同谐调周期结构存在一定的偏差，称之为失谐。失谐会显著地影响周期结构的动力特性[4-5]。对于带阻尼失谐周期结构，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂兰[7]对比分析了频域内失谐和阻尼对多跨梁动力特性的影响，指出不同激振频率下，阻尼和失谐引起的梁动力特性的变化规律相同。而到目前为止，关于带阻尼失谐周期结构由移动荷载引起的波传播问题的研究很少涉及，因此有必要对其进行研究。

本文由弹性地基上梁的垂向波动微分方程，建立了结构中各跨在随荷载移动的动态坐标系下的动态刚度矩阵，并利用传递矩阵法得到了相邻各跨的传递矩阵，进而采用局部化因子分析了阻尼和失谐对波动局部化特性的影响，为周期多跨梁的振动控制提供了新的思路。

1 多跨梁波动控制方程和传递矩阵

图1为弹性地基上的多跨梁，荷载以速度沿梁移动。相邻跨间通过线弹簧和抗弯弹簧与基础相连，线弹簧刚度和抗弯弹簧刚度分别为Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理论[8]，阻尼采用复阻尼，则移动荷载下第j跨梁的弯曲波动微分方程可写为

利用传递矩阵，可以计算出d对互为相反的Lyapunov指数[9]，第d个Lyapunov指数λd即为局部化因子。对于本文中的谐调多跨梁结构，相邻跨间的传递矩阵Tj保持不变，且其维数为4×4，因此局部化因子为λ2。利用局部化因子即可分析失谐周期梁的波動局部化现象。

2 算例及分析讨论

根据上述理论模型，分析阻尼和失谐对移动荷载下弹性地基上周期多跨梁波动局部化特性的影响。所用到的几何和材料参数如下：跨长为5m，弹性模量为2.11011N/m2，泊松比0.3，截面惯性矩3.05510-5m4，密度7800kg/m3，横截面面积7.68410-3m2，截面剪切形状系数0.4。无量纲地基刚度系数，弹簧的线刚度和抗弯刚度。本文设多跨梁的跨长lj发生失谐，且服从均值为l0=5m，变异系数为δ的均匀分布。

2.1 谐调带阻尼梁

图2给出了不同阻尼系数下，谐调周期多跨梁（δ=0）中弯曲波动局部化因子随荷载移动速度的变化情况。由图可知，当阻尼系数η=0时，结构中存在明显的速度通带和禁带：如在速度区间m/s，局部化因子λ2>0，该区间即为速度禁带，在速度禁带内，波动将局限在移动荷载附近；在速度区间m/s，局部化因子λ2=0，该区间即为速度通带，在速度通带内，波动能够自由地传播。对于带阻尼多跨梁，原速度通带内局部化因子出现大于零的情况，并且随着阻尼系数的增大而增加，波动发生更大的衰减。在通带区域边界处，阻尼引起的衰减通常更大。同时，在低速度通带内，波动衰减得更加强烈，而在高速度区，阻尼引起的衰减并不明显。注意到，局部化因子在495和665 m/s附近时突然增大，这种现象是由于此时两种波的衰减常数相等，即两种波合并形成了一种衰减波，衰减程度增强。因而，可以通过调整结构的阻尼系数和荷载移动速度来改变结构的波传播特性。

2.2 失谐无阻尼梁

图3给出了跨长lj发生失谐，变异系数取不同值时，失谐无阻尼梁（η=0）中局部化因子随荷载移动速度的变化曲线。由图可见，当变异系数δ>0时，对应δ=0为速度域通带的区间，局部化因子出现大于零的情况，此时表明波动局部化现象发生，即弯曲波不能在结构中自由地传播以致传遍整个结构，而是局限在移动荷载附近。同时，与谐调周期多跨梁相比，失谐也使得波动局部化的范围进一步加宽。随着变异系数的增加，通带内局部化因子逐渐增加，该区间的局部化程度相应地增强；而且，除第一个禁带外，局部化现象使得局部化因子在速度通带内逐渐增加，在速度禁带内降低，当变异系数达到0.05时，第一个通带完全消失了。因此，在移动荷载作用下，失谐周期多跨梁在特定的速度范围内能控制弯曲波在结构中的传播。比较图2和图3知，失谐和阻尼都会引起结构中波动的幅值发生空间衰减，且两种情况下引起的梁动力性能的改变具有相同的趋势。

2.3 阻尼和失谐共同作用的影响

图4比较了谐调带阻尼梁和失谐无阻尼梁中局部化因子随荷载移动速度的变化情况。同时，对比分析了失谐和阻尼同时存在引起的局部化效应与各自单独影响之间的关系。由图可观察到，在速度通带内，对于谐调阻尼梁，小阻尼系数η=0.02所引起的衰减高于失谐无阻尼梁中失谐水平δ=0.05所致，失谐和阻尼共同作用引起的衰减与各自单独作用产生效果之和吻合良好，说明阻尼和失谐产生的衰减效果可以简单叠加。当荷载速度接近通带边界进入速度禁带时，这种现象逐渐消失。而且，失谐通常会加强由于结构阻尼所引起的衰减，反之亦然。但是，在速度禁带区域，阻尼和失谐相互作用则使得失谐阻尼梁中的局部化因子远小于两者单独作用之和。

3 结语

本文系统地研究了阻尼和失谐对弹性地基上周期多跨梁波动局部化特性的影响，得出以下结论。

（1）弹性地基上的谐调无阻尼多跨梁存在速度通带和禁带，阻尼作用会使得原速度通带内的局部化因子大于零，波动发生衰减。

（2）在移动荷载作用下，失谐多跨梁中存在波动局部化现象，随着失谐水平的增强，波动局部化程度加强。

（3）当阻尼系数和失谐水平相同时，阻尼引起的衰减效应要明显高于失谐所致。同时，在速度通带，阻尼和失谐引起的效应可以简单叠加。因此，可以选择调整阻尼系数和失谐水平来实现移动荷载下周期结构的振动控制。

参考文献

[1] Aldraihem O J， Baz A. Dynamic stability of periodic stepped beams under moving loads[J]. Journal of Sound and Vibration， 2002，50（5）：835-848.

[2] Ruzzene M， Baz A. Dynamic stability of periodic shells with moving loads[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 296（4-5）： 830-844.

[3] Yu D L， Wen J H， Shen H J， et al. Propagation of steady-state vibration in periodic pipes conveying fluid on elastic foundations with external moving loads[J]. Physics Letters A， 2012，376（45）：3417-3422.

[4] 李凤明.结构中弹性波与振动局部化问题的研究[D].哈尔滨工业大学，2003.

[5] 张锦，刘晓平.叶轮机振动模态分析理论及数值方法[M]. 北京：国防工业出版社，2001.

[6] Bouzit D， Pierre C. Localization of vibration in disordered multi-span beams with damping[J]. Journal of Sound and Vibration，1995，187（4）： 625- 648.

[7] 王晶，于桂兰.带阻尼失谐周期多跨连续梁的振动局部化问题[J].北京交通大学学报，2009，33（4）： 144-148.

[8] Ruge P， Birk C. A comparison of infinite Timoshenko and Euler-Bernoulli beam models on Winkler foundation in the frequency- and time-domain[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，304 （3-5）：932-947.

[9] 陳阿丽，李凤明，汪越胜.失谐压电周期结构中波动的局部化[J].振动工程学报，2005，18（3）：272-275.