利用“数形结合”思想化繁为简解决问题

屠艳红 蔡丽娟 陈莉 李姝芮

教学内容：人教版小学数学三年级上册第七单元。

一、读懂教材

“解决问题之拼组图形周长最短问题”是人教版小学数学三年级上册第七单元第三节的内容。本单元内容：第一部分是四边形的特征、长方形和正方形的名称、长方形和正方形边和角的特点;第二部分是周长，主要教学周长的含义及长方形和正方形周长的计算;第三部分是教学运用四边形及周长的知识解决生活中的简单实际问题。

本单元教材的编排具有以下三个特点：（1）注重让学生通过自主探索，掌握新知;（2）注重体现知识的形成过程，渗透数学思想方法;（3）关注所学知识的及时运用，培养学生解决问题的能力。这三个特点在本单元的例1～例5或者说是在小学数学教学图形与几何的内容中体现得淋漓尽致。根据学生的年龄特点和认知特点，教学方法采用探究性学习的模式进行教学。

二、读懂学生

“解决问题之拼组图形周长最短问题”是學生学习了长、正方形的特征和周长的计算之后，为了帮助学生巩固长方形、正方形的特征及周长的计算方法，进一步发展数学思考，提高解决问题的能力而编排的教学内容。儿童的智慧往往产生在指尖上，“图形与几何”这一领域知识的学习要让学生通过有效操作来进行。在一年级时学生已经直观认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面图形，本单元是让学生在主动探究中认识图形的特征，逐步概括出长方形、正方形周长的计算公式。再通过大量的操作活动，如量一量、折一折、拼一拼、画一画、比一比等，使学生能够通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流，经历从现实空间中抽象出几何图形的过程，探索图形性质及其变化规律的过程，从而在解决问题的过程中积累数学实践经验和思维经验，获得鲜明、生动和形象的认识，进而形成表象，发展空间观念。空间观念是在活动的过程中逐步建立起来的，学生对一些知识的理解往往不是一次完成的，需要有逐步深化、提高的过程。而通过解决问题，使学生能体会知识的广泛应用，积累解决问题的经验，发展创新意识，提高实践能力。

三、例题解读及设计意图

在解读例题时，教研团队认为教材提供的案例出现得较突兀，单一的教学情境不利于学生经历完整的规律的探究过程，从而会出现对规律的概括和描述出现片面性的现象。而学生的认知过程也缺乏一个逐步拓展、螺旋上升的过程。因此问题情境及设计意图如下：

探究之前，要明确要求。首先呈现一个班级绘画园地的布展，既与学生生活场景相结合，又能通过对场景布置的描述，解决学生对问题的阅读与理解上的困难;此环节的设计主要功能是让学生知道要解决的问题是什么，信息是什么，特别是需要让学生明确不能随意拼，拼出的结果必须是长方形或者正方形。这是学生探究活动的起点，也是本节课教学的难点之一。

探究之中，要指导方法。此环节创设一个探究活动的情境——分3次用不同数量的正方形进行不同层次、由浅入深、由特殊到一般的探究活动，在探究活动中，使学生对规律的认知，经历了从模糊感知上升到准确描述的过程，为学生提供了数学思考的机会和空间;此环节设计的意图是通过四个步骤，层层深入，学生的学习经历了一个老师引领—自主探究—自主归纳—完整认知，通过教师的由扶到放的过程，教会学生探究活动的一般方法，培养空间观念。这是本节课的教学重点之一。总结规律时，学生能用自己的语言来从数和形两个角度来表达这个规律就可以了。另外，对本节课学习中用到的（如动手操作、表格记录、规律的概括与整理等）方法进行回顾，渗透探究性学习的一般方法和步骤。这也是本节课的教学难点，也是教学重点之一。

探究之后，要实践运用。最后环节，学生通过运用所发现的规律解决不同形式的问题，通过从两个不同的角度解决问题，检验学生对所探究的规律的理解和运用，以及对规律的描述的能力。实践运用是检验学生规律认知的途径，此环节从数和形两方面检验学生对规律的理解和运用情况，特别通过对判断理由的说明，来达到培养学生运用数学语言表达思维的能力。

第一次教学实录：

教学目标：

1.知识目标。（1）通过操作寻找当长方形面积相等时，长与宽的数据变化与周长的关系。（2）学会解决四边形中有关拼图问题，学会拼周长最短图形的策略，并解决实际问题。

2.技能目标。（1）培养学生动手操作的能力。（2）培养学生观察数据、归纳数据、概括规律的能力。（3）培养学生运用规律解决生活中问题的能力。

教学重难点：动手操作并观察、归纳概括面积相等的长方形，长与宽数据变化与周长的关系，从而解决周长最短图形的问题。

教学实录：

第一板块：情境引入，理解拼法

要把18幅边长为2分米的正方形的绘画作品紧密张贴在一起做成“绘画园地”，最后在“绘画园地”的四周贴上花边。怎样设计，才能使贴的花边最少？

解决这个问题用到我们学过的什么知识呢？（周长）

要让“绘画园地”花边最短，实际就是让什么最短？（周长最短）

今天我们就来解决关于图形周长的相关问题。（板书课题：解决问题）

第二板块：自主拼组，寻求规律

1.教学教材第86页例5。

（生读题）你知道了什么？要解决什么问题？你有什么想法吗？

请从信封中拿出16个小正方形试着拼一拼，并把新图形的相关信息记录在作业单上。在拼组的过程中，请有序思考。

若摆一行，怎么摆？一行摆几个？（16个）所摆成的新图形长是多少？（16）宽呢？（1）

请你们仿照拼一行的方式拼一拼两行并填写相关信息。

对比三个作业单，你们更喜欢哪个？为什么？

师出示PPT显示拼接的三种情况：

观察三个图形哪个周长最短？（第三个）从上到下，图形的形状怎么变化？（越来越像正方形）

從上到下，图形的长和宽有什么样的变化？（长和宽越来越接近）

我们寻找出图形周长最短的问题是通过怎样的顺序探究出来的呢？

师总结：首先我们拿出16个正方形，动手操作并记录数据（板书：操作与记录），接着我们对数据进行观察，并且思考数据的变化规律（板书：观察与思考），最后对我们所观察出的规律进行归纳与概括。（板书：归纳与概括）

师总结：今天我们不仅找出了规律，还学会了在解决问题时应该如何有序思考，逐步寻找图形规律的方法。

第三板块：运用规律，巩固提升

1.下面的图形中，周长最长的是（ ）

2.解决“绘画园地”问题。

要解决什么问题？和刚刚的问题比较，什么相同，什么不同？

第四板块：课后小结

师：这节课你学会了什么？

问题研讨：

规律是客观事物、现象固有的特征。寻找规律是认识客观世界的手段和途径。本节课设计重在找到一些特殊图形为例子，利用不完全归纳法来找到规律。

本课第一环节从18个小正方形拼接作为切入点，呈现本节课研究的内容是周长最短的问题，因学生本学期对于拼组图形还比较陌生，且第一次接触本单元长方形、正方形及周长知识，所以设计一个生活场景的引入，明确生活中的花边就是拼组图形的周长。让学生从生活问题中感知数学问题，并初步感知用正方形拼组新图形的过程。第二环节利用16个小正方形来突破拼成正方形时周长最短的问题，动手操作并计算后，利用数据进一步感知规律进行归纳。第三环节通过练习来巩固规律的运用。

课后，我们进行了深度研讨。从第一环节来看，18个小正方形出示后，对18这个较大数据没有敏感性，所以此环节我团队考虑修改为孩子容易操作的数据来进行。第二环节，采用16个图形进行拼组，数据本身没问题，但是因为拼法有三种，特别第二种长为2、宽为8的一组，孩子思考起来比较困难，加之计算数据较大，时间较长，考虑到不论是动手操作还是思维引导，都应该做到由易到难，所以决定从简单的数量来入手，教会孩子如何拼摆、如何记录、如何计算，再扩大数据、深入探究，最后得出结论。对规律有了初步认识后，如何进一步深入理解呢？这就要求练习环节的设计应该层层递进，由易到难，提高学生的思维层次。

基于这些问题，我们修改后，进行了第二次试讲。

第二次教学实录：

第一板块：情境引入，明白拼法

（PPT出示题目，课件演示其中一种拼的方式，并呈现多种情况最后围上花边）

解决这个问题用到我们学习过的什么知识呢？（周长）

要让花边最短，实际上就是让……（周长最短）

以上3种拼法，你们认为哪种新图形周长最短呢？

（板书课题：解决问题）

第二板块：明确如何拼、如何记录

1.4个边长为1分米的正方形拼组周长最短图形。

读题后你知道了什么？要解决什么问题？

（拿出四个相同大小的正方形）这里有4个正方形，你们有想法了吗？（生上台拼）

先看第一种拼法，拼了几行？（2行）每行几个？（2）长是多少？（2）长和宽相等，都是多少？（2）

能根据这个方法把第二种情况记录在作业单上吗？

这两种拼法哪种周长短？（第一种）

第三板块：自主拼组，寻求规律

1.9个正方形拼组周长最短图形。

师：请你仿照4个正方形的拼组方法，用9个正方形拼一拼，并且把拼组的情况记录在作业单上。

（选取两个同学作业单进行对比）你们和谁的答案一样？（都不同）

他们哪里有问题？应该怎么填？

用9个正方形进行拼组，你们发现拼成什么图形周长短？（正方形）

对比两次探究活动，发现了什么？（当拼成正方形的时候，周长最短）

2.16个正方形拼长方形与正方形，猜想并验证周长最短图形。

通过两次探究活动，猜想拼成什么图形时周长最短？（正方形）

4人小组分工动手拼一拼或画一画，验证你的猜想。

和你们的猜想相同吗？（相同）

（选取4名同学的进行对比）请从上到下观察，所拼成的图形是怎样变化的？（越来越像正方形）

对比每一组的长和宽，长和宽怎样变化的时候，周长越短？（长和宽相差越小的时候，周长越短）

用完整的语言说一说我们的发现？（用16个正方形拼组图形时，所拼图形长和宽相差越小时，周长越短）

第四板块：基于知识，运用规律

1.下面的图形中，周长最长的是（  ）

你能快速判断拼成什么图形周长最短？为什么？（最接近正方形）

2.解决“绘画园地”问题。

要解决什么问题？和刚刚的问题有相同和不同的地方？（不一定非要拼长方形或正方形，只要求找出周长最短的图形即可）

猜想一下，拼成什么形状（拼几行，每行几个）可以使周长最短？

第五板块：课后小结

师：这节课你学会了什么？

师总结：那就把你们知道的知识运用到生活中吧。

问题研讨：

经过第一次试教我们进行了以上修改。

存在的问题：本节课所要得到的规律是形状越接近正方形周长最短，长和宽越接近周长越短，那么出现一个问题：拼不成正方形时应该怎么办？但实际生活中拼不成正方形的情况最多，我们设计的几个数据并没有囊括所有的情况，那么必须设计一个拼不成正方形的数据来研究，看规律是否需要补充和修改，基于此，进行第三次修改。

第三次教学实录：

第一板块：创设情境，引出研究内容

老师要布置教室，做一块“绘画园地”，是由16幅边长为2分米的正方形图画紧密张贴而成，像这样所拼成的新图形必须是长方形或者正方形，最后，在绘画园地周围围上一圈花边，为了能够节省花边材料，同学们设计了几种方案，有的同学这样拼，有的这样拼。（课件出示3种情况）

猜一猜，哪种拼法所用花边最少？

求新图的花边长是求新图形的什么？（周长）求花边最短其实就是求什么？（周长最短）

到底哪一种拼法的周长最短呢？我们一起来探究真相吧！（板书）

设计意图：从图入手，利用“围花边”的生活情境帮助学生理解要解决的问题就是求组合图形的周长，要让材料最节省就是要让周长最短，激发探究欲望。课件演示用动态线条围出图形周长帮助学生理解组合图形周长的含义，初步知道用正方形拼组新图形的方法，找准教学的起点。

第二板块：动手操作，深入探讨

1.探究4个形状相同、大小相等的小正方形。

用4张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？

你知道了什么？要解决什么问题？（4个正方形，边长1分米，要拼成的图形是长方形或者正方形）

对呀，注意数量要相同，大小要相等。（课件）

我带来了4个小正方形（板贴），你想怎样拼？

为了方便快捷记录思维过程，用简笔画的形式来记录拼法。（板书图）新图形的长是多少？宽是多少？（长是2宽是2，它是一个正方形）

板书记录，这种拼法的周长怎么计算？（边长乘以4，是8分米）

板书记录，还有其他拼法吗？

请你也按照老师的方法在记录单上画一画、填一填第二种拼法（生填写）。

谁来汇报一下你的填法？〔长是4分米，宽是2分米，周长是（4+2）×2=12分米〕板书记录。

还有其他拼法吗？

有什么想对这位同学说呢？（这种拼法和上一种拼法一样，只是位置改变了）

你真會观察，还有其他拼法吗？

（有同学表示有异议，题目要求是要拼成长方形或正方形，这个不符合要求）

真是一个认真审题的孩子，还有其他拼法吗？（没人举手）哪种拼法周长最短？（拼成正方形时周长最短）

2.探究9个形状相同、大小相等的小正方形。

用9张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？

认真读题，你想提醒大家注意什么？（是9个边长为1分米的正方形，拼成长方形和正方形，要使周长最短）

请用学习4个小正方形拼组的方法，利用学具袋里的小正方形拼一拼，并记录和计算，解决9个正方形的拼组。

生实践操作完成记录和计算，请两位同学上黑板记录。

请上台的同学说说你的想法？

生1：9个小正方形拼成1行，长是9分米，宽是1分米，周长是20分米。

生2：9个小正方形拼成一个正方形，长是3分米，宽是3分米，周长是12分米。

经过之前的研究，哪一种拼法周长最短？（拼成正方形时周长最短）

设计意图：学生通过模仿4个正方形拼组图形的过程进行9个正方形的拼组，并用填一填、画一画、比一比的形式记录拼组结果。在操作、观察、思考、推理中积累初步经验，两次探究活动初步感知当用数量相等、大小相同的正方形进行拼组时，拼得正方形时，图形周长最短，体现了化繁为简、数形结合的思想。

3.对比、归纳。

经过两次探究，你发现了什么？试着说一说，并填一填作业单。

谁来说说你的发现？（都是拼成正方形时周长最短）

总结：数量相同、大小相等的正方形拼组图形，所拼成的图形为正方形时，周长最短。通过刚才的研究，你能判断16个数量相同、大小相等的正方形拼组图形，哪种拼法周长最短吗？（第三种）（课件回开课）

为什么？（数量相同、大小相等的正方形拼组图形时拼成正方形周长最短）

请大家把刚才张同学说的说给你的同桌听一听。

设计意图：通过动手拼组4个、9个正方形从不完全归纳达到完全归纳，从给出的特殊数据中找寻出图形周长的规律。接着回到16个正方形的拼组来快速检验孩子的掌握情况，解决开课时的围花边问题，教师由扶到放，学生形成了初步的模糊感知拼成正方形周长最短，认为这就是真相了。

4.对12个正方形拼组的研究。

通过研究，我们有图还有真相，但是这个真相真的就是真的吗？（部分学生不确定地回答）

既然不确定，看来我们只有再接着研究了。

问题：用12张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼，才能使拼成的图形周长最短？

你想提醒你的同桌注意什么？

如果已经能完全掌握的同学可以直接画一画并计算，觉得还需摆一摆的同学请先摆一摆再计算，可以和小伙伴一起完成，也可以独立完成，开始吧！

师巡视并指导，做得又快又好的同学请上黑板记录。

（师在巡视过程中发现有孩子不停地问，老师拼不成正方形）

你们在探究的过程中，有没有特别想说的？（12个拼不成正方形）

那我们一起来研究研究，黑板上三种拼法，你们都找到了吗？

三种拼法中，哪种拼法周长最短？（第三种）（板书）

第三种周长最短，可它不是正方形，它和正方形还有联系吗？（它长得像正方形）

真会观察，它真的像正方形，能换一种说法吗？它怎么正方形？请用数学语言表达。（近似、相近、接近）

观察图形，拼不成正方形时，拼成的图形接近正方形时，周长最短。（板书）

观察数据（12个的三种情况的数据），在长、宽不停地变化的时候，周长也在变化，你发现什么？（一个不断增加一个不断减少，两个的距离越来越短了）

“距离短”，说得好，怎么个短法，谁能说说？（12和1，相差11，6和2相差4，4和3相差1）

也就是说长和宽的长度越来越怎么了？（接近）

观察数据，发现拼成图形的长与宽的数据最接近时周长最短。（板书）

把我们发现的真相和你的同桌说一说。

设计意图：第三次拼摆12个正方形，得出只能拼成长方形，理解了一些数据只能拼成长方形，由特殊到一般得出正确结论。拼12个得出新的结论，巧妙突破了难点也让孩子真正体会我们研究数学一定要考虑到所有情况，不能以偏概全。学生3次用不同数量的正方形进行不同层次、由浅入深、由特殊到一般的探究活动，经历了从模糊感知上升到准确描述的过程，为学生提供了数学思考的空间。

第三板块：基于知识，运用规律

1.下面的图形中，周长最长的是（  ）

2.解决教材上18个的问题。

设计意图：两组练习由看图形判断抽象到看数据直接判断，层次清晰，提升了难度，检验了学生描述规律的能力、以数解形、运用规律解决问题的能力，说明理由进一步培养了用规范的数学语言表达思维过程的能力。

第四板块：课后小结

师：这节课你学会了什么？

我知道了当拼成正方形时周长最短。我知道了当图形大小相等时，所拼图形越接近正方形时，周长越短。我知道了当图形大小相等时，所拼图形长和宽越接近时，周长越短。

总结：今天我们从拼组图形得到数据的规律，又从数据的规律中找出什么情况下图形周长最短，在数学中，还有很多很多数形结合来解决的问题期待我们去探讨。

设计意图：对探究过程的回顾让学生体会画图、表格记录、对比、归纳都是解决问题的方法。对规律的描述检验了学生对重点的理解、阐述，初步感知数形结合的作用。

问题探讨：

基于上一次的试教，明确了教学思路：

第一环节改为16个小正方形作为引入，这个数比较熟悉，孩子借助直觉和经验可以快速找到正方形的拼组，更快地理解本课的目标和问题，为之后埋下伏筆。第二环节采用4个—9个—回到16个—引出12个—得出结论，思路严密经得起推敲，4个的拼组教会孩子学习方法，9个形的拼组利用4个的学习方法进一步感知和体验规律，回到16个，在确定了拼成正方形时周长最短的情况下加深印象，所以问真的是真相了吗？孩子们蒙了，在想老师这么问是什么意思？难道还有其他真相？当12个小正方形出现的时候，激起了孩子一定要去探究清楚的欲望，操作时，孩子犯难了悄悄说“老师，拼不成正方形”，我就乐了，课堂不正需要这样的问题吗？当所有拼组情况全部呈现在黑板上时，“它和正方形还有点关系吗？”，孩子给了“接近正方形”的结论，在观察数据的变化时又出现了“他们的距离短”这样的回答，就解决了本课的重难点。

对于练习较上一次没有改变，板书则由孩子们自己填表完成，在练习卡的设计上，又减少了拼次、行数、每行几个，记录越清晰，结论就越容易浮出水面。