裂缝性岩石振动特性研究及有限元分析

闫立鹏

(中国石化石油工程技术研究院，北京 100101)

随着深部地层勘探开发比例的逐年增加，复杂地层与难钻地层钻遇率升高，现有技术越来越不能满足当今钻井作业需求，亟需发展新的高效破岩技术解决当前钻井作业难题[1～3]。因此，高频谐波振动冲击钻井技术作为一种新的高效破岩技术被提出[4，5]，这里冲击频率大于10Hz称之为高频。在进行高频谐波振动冲击钻井时，当谐振激励的冲击频率与岩石的固有频率相等时，岩石会产生共振，此时岩石的振动位移最大，最容易产生破坏，即共振钻井。如何确定岩石的固有频率，岩石在简谐振动激励下的振动响应如何是需要解决的关键问题。

目前，有关梁结构振动频率的研究较为普遍[6～8]，杨美良等[9]对剪切变形下斜梁桥自振频率的解析方法进行了研究。杨明镜等[10]基于接触非线性理论，提出了裂纹梁固有频率近似计算法。王术新等[11]对工程中3种典型裂缝梁(简支梁、自由梁和悬臂梁)的前三阶固有频率的变化率与裂缝位置和深度的关系进行了计算和分析。还有一部分学者对其余结构的振动频率进行了研究[12，13]，项松等[14]应用Love的一阶理论计算了旋转功能梯度圆柱壳的固有频率。周永兆等[15]利用多尺度方法分析了输流管道非线性横向振动的固有频率。邱兆国等[16]利用超声波垂直入射的方法，研究了粘接层界面具有弹簧模型的边界条件下波的反射系数与谐振频率的关系。但在已有的研究成果中，有关岩石振动频率的研究并不多见，而关于裂缝对岩石振动频率的影响研究更是少之又少。

笔者基于岩石模态理论，建立了裂缝性岩石固有频率的理论计算模型，给出了岩石在简谐振动激励下的稳态响应，同时应用ANSYS有限元软件分析了裂缝对岩石固有频率的变化规律，旨在为高频振动冲击钻井技术的实现提供理论基础。

1 裂缝性岩石固有频率计算模型

岩石存在着大量裂缝，这些裂缝影响着岩石自身的振动特性，为岩石的破碎提供了前提条件。岩石破碎时，随着裂缝个数的增加或者裂缝的扩张，岩石强度降低，岩石的固有频率也随之改变。在岩石中选取含有一个裂缝单元的岩块作为分析对象，如图1所示，计算其固有频率ωi。

图1 岩块分析单元

岩块振动系统的固有频率可以表示为:

(1)

式中：k为岩块刚度，N/m；m为岩块质量，kg。

假设岩块是理想化模型，其刚度可由弹性材料的刚度公式求得，即：

(2)

式中：L为岩块长度，m；E为岩块弹性模量，MPa；A为岩块横截面积，m2。

只考虑裂缝尺寸对岩石弹性模型的影响，可将其表示如下：

(3)

式中：C是裂缝的尺寸参数，m；a是裂缝单位面积的表面能，J/m2。

将式(2)、 (3) 代入式 (1) 可得：

(4)

(5)

式(5)即为裂缝性岩石固有频率的理论计算公式。由式(4)可知，岩石的固有频率随裂缝尺寸的增加而减小。因此，在高频振动冲击钻井时，当岩石裂缝由小到大扩张，冲击频率应随之从大到小变化，从而最大程度实现井底岩石的共振。

2 谐振下岩石的稳态响应

图2 谐振激励下岩石的幅频特性曲线

岩石在简谐振动激励下，会产生稳态响应。由振动学理论绘制岩石的幅频特性曲线，如图2所示。其中β为岩石的幅频特性，表示岩石响应的位移振幅放大因子；ω1/ω为激励频率与岩石固有频率比；ζ为岩石的阻尼系数。

通过幅频特性曲线进行分析，可得到如下3个结论：

1)当激励频率ω1≪ω时，β=1。当激励频率很低，即ω1≪ω时，β接近于1，说明当用低频激励井底岩石时，振动幅值接近于静态位移，这时对井底岩石的强迫振动过程可近似地用静变形过程来描述。因此，ω1/ω≪1的这一频率范围又被称为“准静态区”。

2)当激励频率ω1→∞时，β→0。当激励频率ω1很高，即ω1/ω≫1时，β<1，说明当用高频激励井底岩石时，由于自身惯性的影响，井底岩石来不及对高频激励做出响应，因而振幅很小。因此，此区域称为“惯性区”。

3)当激励频率ω1≈ω时,β曲线出现峰值。当激励频率ω1与固有频率ω在相近的范围内，即ω1/ω≈1，β曲线出现峰值，说明此时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍。

3 数值模拟

应用ANSYS软件模态分析模块和谐响应分析模块求解岩石的固有频率和谐振频率，岩石的岩性分别为砂岩、石灰岩、花岗岩和油页岩，其弹性模量分别为4×1010、3.7×1010、2.6×1010和1.5×1010MPa。裂缝模型：常规裂缝尺寸为0.1mm×2mm×300mm的立方体，短裂缝模型尺寸为0.1mm×2mm×280mm的立方体，宽裂缝模型尺寸为1mm×2mm×300mm的立方体。

有无裂缝的岩石不同阶下的岩石模态如图3、图4所示。由图3可知，每一种岩石均具有不同阶的模态，岩石在简谐振动激励下，当激励频率与岩石任意一阶模态大小相等时，岩石即可产生共振，产生显著的振动位移。不同岩石的固有频率不同，岩石的弹性模量越大，岩石的固有频率越大。这是由于岩石的弹性模量越大，岩石越难产生变形，因而引起岩石产生振动需要的能量更大，激励频率更高。对比图3和图4可知，存在裂缝的岩石低于同等条件下无裂缝岩石的各阶模态，说明裂缝的存在降低了岩石的固有频率。

图3 无裂缝岩石不同阶下的岩石模态 图4 有裂缝岩石不同阶下的岩石模态

具有不同长度和不同宽度的水平裂缝和垂直裂缝的岩石谐振频率如图5～图10所示。由图5～图10可知，水平裂缝、水平短裂缝及水平宽裂缝的谐振动频率分别为3600、3900、3200Hz，垂直裂缝、垂直短裂缝及垂直宽裂缝的谐振频率分别为4000、4250、2000Hz。由具有不同尺寸的2种裂缝的岩石谐振频率对比说明，裂缝长度越长，宽度越大，岩石的谐振频率越小，这均是由于岩石刚度降低造成的。

图5 水平短裂缝谐振频率 图6 水平宽裂缝谐振频率

图7 水平裂缝谐振频率 图8 垂直短裂缝谐振频率

图9 垂直宽裂缝谐振频率 图10 垂直裂缝谐振频率

此外，由数值模拟结果可知，岩石在简谐振动激励下的振动响应与幅频特性曲线符合性较好，当激励频率与岩石固有频率相等时，岩石的振动响应会出现峰值，此时岩石处于失稳状态，振动响应最剧烈，最容易达到其断裂极限而发生破碎。当以非共振频率激励岩石时，岩石也会发生上下的往复振动，只是此时岩石的振动响应和共振状态下相比非常微弱。

4 结论

1)建立了裂缝性岩石固有频率的理论计算模型，由模型可知，岩石的固有频率与岩石材料特性和裂缝尺寸密切相关，裂缝存在会降低岩石的固有频率。

2)给出了谐振激励条件下岩石稳态响应的幅频特性曲线，当激励频率与岩石固有频率相接近时，岩石的振动响应会出现峰值。

3)由有限元数值模拟分析可知，岩石的弹性模量越大，固有频率越大；裂缝长度越长，宽度越大，岩石的谐振动频率越小。数值模拟结果对理论模型进行了验证。