基础数学的最值问题求解分析

高之茵

摘 要：在基础数学的概念当中，有一个：“最值”问题。最值问题存在于高中数学的函数、数列、三角、平面向量、不等式、立体几何、解析几何和极坐标与参数方程等各章节的学习过程中，是高中数学的重要题型之一，也是历年高考的热点和学生学习过程中的难点.以求解或讨论最值为载体所设计的问题，不仅可以考查核心概念与重要知识，还能考查函数与方程、分类与整合、转化与化归、数形结合、运动变化等数学核心思想方法。

关键词：基础数学；最值；分析

最值属于基础数学教学环节之中的重要内容，本研究通过分析基础数学的最值能够提升理论研究水平，促进基础数学在现实生产生活实践的融合与应用，更加能够促进各行业的发展.为此，需要通过对最值与极值两概念进行划分，其次要论证最值的主要求解方法与应用情况.希望通过本研究能够对未来数学发展与实践应用提供借鉴和帮助。

1.概述

二次函数是初中数学中非常重要的内容之一，运用二次函数可以解决贴近生活实际的很多应用题.在近几年各地的中考试题中出现了大量的二次函数应用题，这类试题通过文字、图像、表格等方式呈现给学生一系列复杂的信息，要求学生建立函数关系式并根据题意求出最值，这类问题主要考查学生灵活运用二次函数的相关知识处理问题的能力.通常二次函数的最值在顶点处取得，一但出现求二次函数最值问题的试题，大部分学生会不假思索地利用二次函数的顶点坐标求它的最值，这样做有时会造成解题失误，因为与二次函数有关的应用问题的最值不一定在顶点处取得.因此，在解决二次函数应用题时要根据题意，灵活应用函数的有关性质及数形结合的思想求解。

2.最值与极值的异同性

极值属于函数当中的一种局部概念，数学教学之中，如果函数本身在某一点上并未进行定义，在此点上所形成的函数值就需要通过邻域之中最大或者最小，这样的值将代表最大值或者最小值，此点则可以被理解为是极值.换言之，函数f（x）在x1邻域具有意义，如果x1附近位置上产生的全部点所形成的函数值均出现小于或者高于x1的情况，则可以表示为f（x1）≤f（x）或表示为f（x1）≥f（x），这样，f（x1）表示的是此函数之中的极小值或极大值情况.此时，需要注意此项函数f（x）所产生的极值是在（x1）的附近产生的最值，并非是函数整个定义域当中的最值.其次，函数通过在（x1）附近应当给予定义，否则极值也就无从说起.除此之外，需要对比分析极值以及最值之间的差异性，最值主要是指在函数定义域之中的，函数值或者大于或者小于其他点的函数值，此点将被认为是最值点.最值与极值在区间（a，b）范围之内，产生的最大值为x=b的位置上，因此，x=b的情况下，是函数产生最大值时.当x=x3的时候，函数值最小.为此，可以知道x=x3时，则函数处在最小值的位置上.通过这个关系可以发现，极值点以及最值点之间可能发生重合，或者不重合.极值也并非是函数之中的最大值，且单调递增或者单调递减等函数并不存在最值情况.首先，极值针对的是局部，极值属于函数当中某一点位置上与相邻函数之中的最大或者最小点，极值在函数中无法代表整个函数当中的最值.其次，因为函数之中极值针对的是附近的点，为此，函数之中极大值并不一定大于极小值.第三，函数之中极值点也并不一定属于是最值点，相同，最值也并不一定就是极值点.第四，函数之中的极值并非是唯一值，需要能够在相应区域之中，函数能够具有多个极值，但是在区域之中函数最大值、最小值则只能有一个.

3.最值求解方法

基础教学工作中，学生可能会对极值与最值产生误解和概念上的混淆.为此，需阐明几种求解最值的方法.

3.1配方求解

配方求解需坚持数学理论：f（x）=a（x-b）2+c（a≠0）之中，假设x所具有的取值范围是[x1，x2]，同时b0，则函数之中的最小值情况可以表示为f（x）=a（x1-b）2+c，此时最大值情况为f（x）=a（x2-b）2+c.当出现a<0的情况下，则函数之中的最小值情况可以表示为f（x）=a（x2-b）2+c，此时最大值情况为f（x）=a（x1-b）2+c.假设x10，则函数之中的最小值情况可以表示为f（x）=a（x2-b）2+c，此时最大值情况为f（x）=a（x1-b）2+c.当出现a<0的情况下，则函数之中的最小值情况可以表示为f（x）=a（x1-b）2+c，此时最大值情况为f（x）=a（x2-b）2+c.假设x10，此时函数之中最小值情况为f（x）=c，出现a<0的情况下，则函数最大值表现为f（x）=c.

3.2判别式求解最值

部分函数无法使用配方法，为此，可以利用判别式获得最值.假设：y=x2+x-1x2+x+1的最值求解，原式可以进行转化，变为yx2+yx+y=x2+x-1，也就是（y-1）x2+（y-1）x+（y+1）=0，此时当出现y≠1的情况，则有（y-1）2-4（y-1）（y+1）≥0，（y-1）[（y-1）-4（y+1）]≥0，（y-1）（-3y-5）≥0.通过本式中可以发现，当出现y=1的条件下，则原式通过进行计算最终能够得到2=0，这个结果不符合实际.为此，可以知道，函数值y无法取值为1，由此可知，此时形成的函数值的最小值应当是y=-53时。

4.最值问题的教学思考

最值问题知识载体丰富，求解方法多样.如果课堂教学中每次都是蜻蜓点水，则学而不会；如果没有全方位的综合比较，则会而不全；如果不提炼各类知识的常规解法，则掌握不牢.一轮教学过程中，多注重“展”，一题多解，一题多变.二轮复习中，常注意“收”，多法寻根，多题归一.在教学过程中，教师不仅要重视知識传授，更要重视数学思想方法的传递，为学生创设情境体验，一题多解（变），深刻感悟.高视点下的高考数学最值问题，各类解法更清晰明了，数学思想方法更灵活多变.在高视点下解决高考中的最值问题，既能突破此类问题，又能高效培养数学核心素养。

5.结语

基础数学之中最值问题的应用程度非常广泛，最值学习同样也是数学教学过程中的难点.极值以及最值两个概念在应用中非常容易出现混淆的情况.很多学生只能够死套公式，无法做到触类旁通，为此，需要能够令学生更加深入性的了解最值与极值之间的异同。综上所述，分析基础数学之中的最值情况，对解决数学问题具有重要意义.甚至在物理学、金融等专业中同样具有良好应用.最值问题也对社会生产具有重要价值.当前，科学家对最值问题的研究仍然不够充分，最值研究具有很大空间，为此，需要能够对最值问题加以深入性探究.也希望通过本研究能够对未来数学教学提供借鉴和帮助。

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