变速直线运动下转动平衡?

一、问题引入

力可以使物体发生转动，力对物体作用时所产生的转动效应用物理量力矩表示。转动平衡状态指一个有固定转动轴的物体，在力的作用下保持静止或匀速转动。有固定转动轴的物体的平衡条件是，作用在物体上的所有力的合力矩等于零，是以转动平衡状态也称力矩平衡状态。对于受平面力系作用而平衡的物体，则对任意转轴的力矩的代数和都等于零。故常说不转动就是力矩等于零，那么当做变速直线运动时，这种说法是否还成立？曾有学生以下题为例，提出疑惑。

例1.如图1所示，在一辆做加速度为a的匀加速直线运动的小车里，用一根长为l的细绳悬挂一质量为m的小球A，绳与竖直方向的夹角为θ。

图1

图2

图3

以O为转动轴，力矩Mo=mglsinθ；

以A为转动轴，力矩MA=0。

基于此计算结果提出三个问题：首先，这里小球A并没有转动，为何合力矩不等于零；其次，为何不同转动轴下的力矩不相等；最后，转动平衡关系是否不适用变速直线运动？

二、参考系与转动轴对力矩的影响

仔细观察发现学生分析时混淆了参考系：她所选的转动轴O是在地面(惯性系)坐标系中，而并不是固定在车(非惯性系)上的坐标系中的转轴O。以地面为参考系时，物体A相对转轴O是在转动的，并不处于转动平衡状态，所以合力矩不等于零。只有以车为参考系时，物体处于转动平衡状态，但此时所受的力需要加上水平向左的惯性力ma，如图2所示。

是故在以车为参考系时，不同转动轴下合力矩都等于零，处于转动平衡状态。为何在惯性系中以A为转动轴时合力矩也等于零？这是由于A其实就是物体的质心位置，惯性系中小球相对质心做直线运动，没有发生转动。

由此得出结论：首先，做变速直线运动的物体在非惯性系中没有发生转动，作用在物体上的所有力的合力矩等于零，处于转动平衡状态。其次，做变速直线运动的物体在惯性系中，绕定轴转动时合力矩一般不等于零，除非选择惯性系中物体的质心位置为转动轴。所以，在利用力矩平衡处理变速直线运动时，需要关注在哪个参考系中处于转动平衡状态。

这里还存在一个问题：以惯性系中的O为转动轴时合力矩不等于零，肯定是由于存在加速度产生的结果，那么合力矩与加速度之间有怎样的定量关系？

三、合力矩与加速度

这里需要利用刚体定轴转动定律来加以理解。刚体定轴转动定律指刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与角加速度的乘积。用表达式表示就是M=Iβ。

θ这里I指对应定轴的转动惯量，β指绕定轴转动的角加速度。其中转动惯量在绕不同轴转动时是不相等的，遵循平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转动轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动距离d，则绕新轴的转动惯量I=Ic+md2。本文考虑的是物体的平动，所以以质心为转动轴的转动惯量Ic=0，故绕不同轴的转动惯量I=md2。

以地面参考系中O为转动轴时，小球的加速度如图3所示，其中ao是指加速度垂直物体质心与转动轴连线方向上的分量：

这里角加速度是连接合力矩和加速度关系的桥梁，且角加速度只与垂直物体质心与转动轴连线方向上加速度分量成正比。所以说在变速直线运动中，合力矩是正比于垂直物体质心与转动轴连线方向上加速度ao以及质心到转动轴间距离d，比例系数就是物体质量。用表达式表示就是M=mda0。

四、利用力矩处理变速直线运动的三种方法

通过上述分析得到三个定量关系：1.在非惯性系中，物体处于转动平衡状态，合力矩等于零。2.以惯性系中质心位置为转动轴，合力矩也等于零。3.以惯性系中其他位置为转动轴时，合力矩满足M=mda0。这三个定量关系也为解决变速直线运动提供了三个方案。

五、小结

通过上述对学生问题的分析和挖掘，笔者深感基本概念教学的重要性，教学中应牢牢抓紧教材中对基本概念的分析，引导学生从不同角度对同一模型的分析，以此构建对不同基本概念间联系和区别，实现清晰和系统化的知识概念，同时提升学生分析问题的能力。反过来学生在分析过程中产生的疑惑，对教师的能力提出更高的要求，促进和鞭策教师对专业知识的深入学习，这就是教学相长。