浅谈高三复习教学中如何启发学生思维*
——以一道二元最值问题为例

(镇海中学，浙江 宁波 315200)

●莫芬利

(北仑中学，浙江 宁波 315800)

1 背景

文献[1]对文献[2]中的一些观点进行了更加平缓、平民化、大众化的解释，并提出了在数学教学中如何理解并贯彻“启发思维”这个中心的三点看法．尤其是文章中提到，面对鲜活的教学现实，我们是否应当跳出现实的情境，在思想上、理论上有一个升华的准备，并在此基础上重新审视我们的教学行为，改进我们的教学思路[1]．对此笔者深有感触，尤其在高三数学复习课教学中，对于突出的、典型的数学问题，教师该如何带领学生一步步深入分析问题、一点点拨开题目的迷雾？如何搭设一层层台阶，帮助学生找到思维的切入点，从而提升学生的思维水平？这些问题都对教师提出了很大的挑战．笔者结合高三一节公开课，谈谈在高三复习课中启发学生思维的几个具体切入点．

2 教学过程简录

2.1 提出问题

二元变量最值问题是高中数学中一类重要的数学问题，它是学习基本不等式、函数与方程、导数等知识后，具体运用数学知识、数学思想的一个良好的载体．由于多模块内容之间知识的联系性，教师要引导学生在问题的解决过程中多维度、多视角地观察与分析问题的条件，不断启迪思维，逐步培养能力，从而提升解题水平，落实高中数学核心素养．

2.2 分析问题

2.3 解决问题

问题1解决含有约束条件的最值问题通常有两个视角：代数视角和几何视角.从代数的角度看，可以怎样理解这个问题？

启发思维点1结合函数和方程的关系，从函数或者方程变量个数角度看，是二元参数问题，减少参数个数是永恒的主题,因此直接利用消元法.由2x+y=1,得y=1-2x,从而

问题2从代数的角度看，对于二元参数问题，减少参数个数是永恒的主题.除了直接利用消元法，还有别的方法吗？

(1)

方法1(利用三角函数的有界性)由式(1)得

(2m-1)cosθ+msinθ=1,

即

从而

(2m-1)2+m2≥1,

故

方法2(数形结合)由式(1)得

图1

故

设计意图消参法是解决多变量最值问题最常见的方法.通过消去变量，化为含有单变量的最值问题，再利用函数的最值方法去解决，这是高中数学中一种重要的解决最值问题的方法.这种简单、常见的解决方法中蕴含了函数与方程、转化和化归等重要思想.在消参的过程中，根据条件的不同，可以利用消元法、齐次化、三角换元等方法消减参数.

x2+y2=(x-t)2，

整理成关于x的方程，即

4x2+2(t-2)x+1-t2=0.

上述关于x的一元二次方程有解，则

Δ=4(t-2)2-16(1-t2)≥0，

即

20t2-16t≥0，

故

设计意图在含有多变量问题中，往往可以从一个变量的角度出发，视其为主元，而把其他变量视为参数，从而转化为方程的解的问题.

图2

问题3从几何角度出发，可以如何理解题目条件和所求式子？

设计意图几何法是解决函数问题的“另一只眼睛”，数形结合可以让学生更加深入地认识所求问题的本质，通过对问题的本质揭示，从较高的角度帮助学生理解问题的来源、拓宽思考问题的角度和深度、挖掘解决问题的方法、提升数学学习的素养.

2.4 归纳拓展

上述从代数和几何两个角度揭示了本题的具体的解决方法．综合利用了函数、方程、导数、三角、直线和圆等相关知识，结合代数式的各种特征，利用了常见的数形结合、判别式法、多元减参、线性规划等多种解题策略.在解决问题过程中充分利用数学逻辑推理、直观想象，根据数学式的特点建立距离模型，结合具体方法落实数学运算素养，直至问题解决．

问题4不等式法一直是解决最值问题的一种有效的方法.在此题中，能不能利用不等式的知识来解决呢？

启发思维点6(柯西不等式)因为

所以

则

当且仅当

设计意图不等式是解决最值问题一个有效的途径，但是对学生要求较高.从不等式的角度看这个问题，需要我们理解不等式的形式及其作用，并检验等号成立的条件，尤其是柯西不等式的系数的凑配.

而(x2+y2)[(2λ-1)2+λ2]≥[(2λ-1)x+λy]2，于是

(2λ-1)2+λ2=1，

故

该方法简单易理解，也可以理解为本题的代数解释．

设计意图知其然更要知其所以然.这种解法从反面角度、从代数方面解释了为什么所求为最小值，结合思维点5解释了为什么有最小值，从而圆满地解决了此问题．不仅如此，还给我们以后解决此类型的问题提供了方法上的借鉴．

2.5 练习巩固

2.6 课后反思

问题5在解题后反思的基础上，你有哪些收获？结合下面的“问题清单”，要求学生在思考的基础上整理.

1)解决二元(多元)最值问题最直接的想法就是“减元”(或减参)和“换元”;

2)体会数形结合这种重要的思想方法;

3)在认识求解二元(多元)最值问题的过程中，体会运用了哪些思想方法,碰到了哪些困难,有何感触.

3 高三复习课启发思维的几个切入点

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：在教学过程中，要始终体现学生的主体地位，教师应充分发挥学生在学习过程中的主动性和积极性，激发学生的学习兴趣，营造宽松、和谐的学习气氛.在高三复习课教学中，如何发挥学生的主动性和积极性？高三课堂教学内容多、容量大、难度高，如何找准学生的“兴奋点”？笔者认为只有找准思维的启发点，像本文的解题过程一样，逐步切入，培养学生的主体意识，体现学生的主体地位，激发学生的学习自主性、能动性、创造性，从而逐步落实数学核心素养．具体表现在：

3.1 疑难之时点拨——对问题的认识

高三复习课，课堂容量比较大，难度比较高，学生在遇到问题时，经常会没有思路.因此，启发思维一个重要的时机就是在学生认识问题的过程中尤其是在解决过程中遇到阻力之时、疑难之时的点拨.即在学生找不到前进的方向时，教师应适时地发挥“引路人”的作用，抓住主要矛盾，从不同的视角、不同的维度、不同的高度，带领学生重新剖析题目条件，重新认识遇到的数学问题，从而抓住解题核心，找准解题的方向．例如，解决函数问题要抓住函数具有数和形两种特征，点拨学生从代数、几何两个角度认识函数；代数法解决向量问题，从基底和坐标两个维度去认识和尝试解决问题等等.

3.2 点拨之后反思——对条件的反思

在学生突破题目难点，找到一种解法后，趁热打铁地引导学生进行题后反思，思变、思同、思异、思源[3]，对问题本质重新剖析，反思解题方法、解题技巧、解答过程，力求将思维由特殊推向一般，使问题层层深入，寻找总结通性通法，使思维逐渐深化．例如，对向量数量积问题的转化，教师可以带领学生反思：除了常见的定义法、投影法外，还有什么方法？事实上，数量积的定义公式也可以转化为

即极化恒等式，结合余弦定理有

等等．这两个公式都消去了定义中的夹角这个参数，采用已知的模长来表示向量的数量积，简化了公式，有较大的应用价值．类似这种反思可以帮助学生加深理解并提高对已知问题的认识能力.

3.3 反思之机小结——对方法的总结

文献[3]指出：题后小结是一种自我提升的重要手段．思变，拓宽题目背景、发散思维是基础；思同，思考结论属性、总结归纳是切入点；思异，猜想性质范围、大胆推广是关键；思源，追溯事物本质、掌握客观规律是核心．通过这4步反思，教师带领学生小结巩固所学内容，从思维的角度、过程、结果等方面进一步增强学生的解题体验，加深对知识的理解．例如，学生都知道从特殊到一般的方法，这种方法在解决不等式恒成立问题经常用来求必要条件缩小参数的取值范围.其实，在解决圆锥曲线问题用到直线方程的时候，经常有斜率不存在的情况，这其实也是一种“特殊”情况，在求解定值定点问题时，往往也会给我们一点“方向”.这一点在高三复习课中尤为突出，高三复习的不仅仅是知识，更重要的是方法，平常所讲的触类旁通、举一反三就是这个意思.

3.4 小结之处升华——对思想的感悟

近几年的数学高考题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，充分体现了新课程标准理念.高三的题目是做不完的，但是高三的知识点、方法是有限的.这就使得我们在平时的教学过程中，不能仅仅停留在题目的解决上，更应该从题目的解答上升为对知识深层次的理解，即更加注重知识的形成过程、更加关注学生获取知识的过程、更加关注学生思维能力发展的过程，在问题本质揭示的过程中、在一题多解的思维过程中、在多题一解的归纳总结中提升学生对思想的感悟，促进学生思维水平的提升，从而培养学生的创新精神和实践能力．