对一道模拟题的多解及变式探究

☉山东省菏泽市第三中学 袁瑞泉

三角形中相关的最值问题一直是解三角形问题中的重点与难点之一，充分融合了解三角形、三角函数、函数、不等式、导数等相关知识，是新课标大纲中充分体现在“知识点交汇处”命题的一大主阵地.此类问题难度一般比较大，但破解的思维方式多样，切入点灵活，一直是历年高考、自主招生、各类竞赛命题中的基本考点和热点之一.

一、问题呈现

问题（山东省烟台市2019届高三二模数学试卷·14）在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，则cos2A+cos2B的最大值为______.

本题以△ABC为问题背景，条件非常简单，只给出三角形的内角所满足的一个三角函数关系式sinC=2cosAcosB，进而要确定相应的三角函数关系式cos2A+cos2B的最大值.如何通过条件切入并利用不同的思维方式来处理是破解本题的关键所在.

二、多解思维

结合条件中的三角函数关系式，借助三角函数中的相关公式进行转化与变形，通过转化得到tanA+tanB=2，再把所要求解的三角函数关系式也转化为含有tanA与tanB的关系式，借助函数法来求解相应的最大值即可.

分析1：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均为锐角，又由于sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB，两边同时除以cosAcosB，整理可得tanA+tanB=2.

解法1：借助换元思维，令6-2tanAtanB=t（t＞0），结合三角函数关系式的变换，转化为相应的函数问题，再借助基本不等式的应用来确定相应的最大值问题即可.

由于分母tan2Atan2B-2tanAtanB+5＞0，

则令6-2tanAtanB=t（t＞0），

解法2：借助换元思维，令t=tanAtanB，利用基本不等式确定参数t的取值范围，再把相应的问题转化为相应的方程Ht2-2（H-1）t+5H-6=0（其中H=cos2A+cos2B），结合方程有根的条件，利用判别式法来确定相应的最大值问题即……