函数值域问题的方法探究与思考

☉浙江师范大学附属中学 周建平

函数是高中数学中基础性强、特征显著的知识内容，也是高考数学重难点问题命制的落脚点，教材编排了大量的章节对其进行描述与探讨.其中函数值域的求解是需要着重掌握的知识点，值域即取值范围，研究函数的值域不仅是函数性质探讨中必不可少的环节，也是强化学生的法则运用与助力学生知识的内化吸收的重要载体.下面对其解法加以探究思考.

一、函数值域问题的解法例说

求解函数值域是高中数学中较为特殊的一类问题，虽然很少独立存在，但综合问题的求解却难以避免.学生在解题时很容易出错，陷入误区，但实际上该类题的解法较为简易，只需要进行适当地归纳整理即可.对于不同类型的函数值域问题需要使用不同的方法，即根据函数的特点选用对应的解法.

1.单调性法

单调性是函数的重要性质之一，对于函数f（x），若自变量x在增大（或减小）时，函数值f（x）也随之增大（或减小），则函数f（x）在其对应区间上具有一定的单调性，此时就可以使用单调性法来探究函数的值域，解题时只需要确定函数的端点值即可.

例1若x∈（0，π），试求函数的值域.

分析：上述函数属于复合三角函数，可以适当加以变形，令t=sinx，则定义域为（0，1］，原函数变为g（t）=t+，属于“”型，该类型的函数具有一定的单调性，可以使用单调性法加以探究，首先分析其单调性，然后讨论其取值范围.

解：令t=sinx，则原函数变形为对于函数，当t∈（0，2）时，函数在区间上单调递减，当t∈（2，+∞）时，函数在区间上单调递增.所以当区间为（0，1］时，函数单调递减，且当t=1时，函数g（t）取得最小值5；……