一道函数零点问题的处理策略

☉陕西省靖边中学 马海生

对于函数的零点个数及所在区间的问题，最让学生和教师感到头疼的是如何来寻找合理且有效的点a与点b，使得（fa）·（fb）＜0.其实，这类问题还是有规律可循的，只要我们能逐步探索出其规律，就能找到行之有效的方案，本文就如何取点a与b作一探讨，让零点问题不再神秘.

【知识概要】

零点存在定理：如果函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（a）·f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上至少存在一个零点.

思路1：直接取点

思路2：放缩取点

有时我们可以通过对给定的函数表达式进行放缩，然后再取特殊点来进行判断.放缩的手段通常有：利用常见的不等式；对表达式的一部分进行放大或缩小；在某种限制条件下放缩等.

思路3：调整取点

我们先选取一个值来进行判断，如果可行则万事皆休；如果不可行，则可以在这个值上作出一些调整再去判断，如此下去，总能找到一个可行的值出来.

题目：已知函数

试问：过点P（0，2）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由.

分析：设过点P的直线l与曲线y=f（x）相切于点Q（x0，f（x0）），

因为切线过点P（0，2），

先对g（x）求导，可得

分类讨论：

①当a≤0时，g′（x）＜0，函数y=g（x）在（0，+∞）上单调递减，y=g（x）至多只有一个零点.

猜测函数只有一个零点，现在去寻找两个值m，n，使g（m）＜0，g（n）＞0.

所以取x=e即满足条件.

②当a＞0时，由

即g（x）在区间上单调递减，

由lnx≤x-1＜x，可得

然后，猜测函数有两个零点，现在只需要找m和n，使得

换个角度，使alnx-a-2=0，则

令x，此时，还是不对，有可能小于零！那么呢，行吗？

事实告诉我们，还是不行！那么问题出在哪儿？真的不能这样处理吗？……