Finsler-Hadwiger型不等式推广的再研究

2019-08-29 04:05王洪燕郭要红
数学通报 2019年7期
关键词:内切圆正三角形外接圆

王洪燕 郭要红

(安徽师范大学数学计算机科学学院 241000)

1 引言

1919年,Weitzenbock提出了如下不等式:[1]

定理1设a,b,c,S分别是△ABC的边长与面积,则

1937年,Finsler和Hadwiger建立了一个更强的不等式如下:[2]

定理2设a,b,c,S分别是△ABC的边长与面积,则

《美国数学月刊》2016年第9期刊登了马其顿人Martin Lukarevski提供的问题11938如下:

问题11938[3]设a,b,c,S,R,r分别是△ABC的边长、面积、外接圆半径、内切圆半径,则

(1)

事实上,1998年武钢高三学生李磊应用Kooi不等式[4]证明了不等式(1)[5],文[6]已收录不等式(1).

本文对不等式(1)进行研讨,得到如下不等式:

定理3设a,b,c,S,R,r分别是△ABC的边长、面积、外接圆半径、内切圆半径,则

(2)

2 两个引理

为证明不等式(2),先给出两个引理

引理1(Blundon不等式)[4]设a,b,c,s,R,r分别是△ABC的边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径,则

其中等号成立当且仅当三角形为正三角形.

引理2设a,b,c,s,R,r分别是△ABC的边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径,则

(3)

其中等号成立当且仅当三角形为正三角形.

证明由引理1可知,只要证

由欧拉不等式:R≥2r,只要证

(4)

因为2(R+r)(R-2r)+3r2≥0,而

=4Rr3+r4≥0.

所以(4)式成立,从而(3)式成立,由以上证明过程可知,(3)式等号成立当且仅当三角形为正三角形.

3 结论的证明

定理3证明

同理可得

三式相加可得

由三角恒等式

利用引理2,由

即有

定理3得证.

4 讨论

根据欧拉不等式:R≥2r,有

所以(2)式是(1)式的加强.

≤4R2+4Rr+3r2.

所以引理2是Gerrentsen不等式[4]s2≤4R2+4Rr+3r2的加强.

猜你喜欢
内切圆正三角形外接圆
无限追踪(二)
三个伪内切圆之间的一些性质
不可或缺的正三角形
与三角形的内切圆有关的一个性质及相关性质和命题
欧拉不等式一个加强的再改进
将相等线段转化为外接圆半径解题
一种伪内切圆切点的刻画办法
一道不等式擂台题的改进与相关问题
仅与边有关的Euler不等式的加强
让三角形倒立