利用极限思维打开解决物理问题的思路

黄贤明

【摘 要】本文论述应用极限思维打开解决物理问题思路的具体措施，提出要捕捉细节找到切入节点，别出心裁寻求最优途径，回扣题目检验结果正误，即利用极限思想找到解题的切入、最优的计算以及最终结果的检验的方法，提高解决问题的效率。

【关键词】高中物理 极限思维 解题思路

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）05B-0123-02

在高中物理的教学中，我们教授给学生的不是片面的问题解决步骤，也不是为了解题而做题，更重要的是教给学生解决问题的方法，让他们学会如何解决问题。而极限思维，是将实际的问题数据理想化，假设某个数值趋向于一个固定的极限，即无穷接近于极限值。也就是说，将事物发展的趋势极限化，并将之应用于解题思路切入、最优的计算以及最终结果的检验方法等多个步骤中，以找到最佳的物理解题方法。我们发现，学生在解决问题时常常找不到头绪，不知道从哪里下手，这时极限化思想可以很好地帮助他们找到解题思路，从而解决问题。那么如何在解题各个步骤中运用极限思维呢？本文将从三个大的方面进行简要论述。

一、捕捉细节，找到切入节点

（一）剔除无关信息，凸出有用信息。在高中物理题目中，我们可以观察到很多信息，得到很多的数据，然后从这些信息和数据中提取所需要的加以使用，将题目梳理清楚。因此，我们在这个过程中可以利用极限思维，赋予题目一个极限值，排除无意义的干扰信息，找到解题的切入点。

例如，在讲解摩擦力时，有这样一个问题：“有一木块从静止开始，从一倾斜的光滑的木板的顶端下滑到粗糙的水平面上，请问它还能够在粗糙的水平面上运动多长的距离？”面对问题，我们首先要对题目进行分析，木块从木板上滑下，会受重力、支持力、摩擦力作用，当它滑到木板底端时会有一个速度。这时木块开始在平面上运动，也受重力、支持力、摩擦力作用。在摩擦力作用下木块的运动速度越来越慢，最后停止下来。为此我们通过画图分析这些力的方向和大小，在图中将题目中的文字信息表现出来，然后剔除题目中的无关信息。这样我们就会看到，重力始终竖直向下且大小不变;支持力垂直于木板或者地面，方向与重力分力有关;摩擦力与摩擦因数、木块重量有关。题目中还有一个信息“光滑的木板”，因此可以把木板与木块之间的摩擦力忽略。在这个过程中，支持力对运动没有关系，可以不必把它画出来。只要懂得木板的长度、木板的倾斜度、木块的重量、木块与粗糙平面间的摩擦因数就可以将问题解决。

在分析问题时，要剔除无关信息，抓住关键信息，凸出有用信息，简化思维过程，运用物理的极限思维就能找到解题切入点，从而解决问题。

（二）圈定取值范围，各个击破。在我们寻找解题切入点时，要注意题目要求的取值范围，正确解题。在圈定取值范围之后，利用极限方法，寻找不同的变量并取其极限，多角度分析，各个击破，找到解决整个问题的切入点。也就是说，我们从极限取值出发分析普遍现象，获得最后的答案。

例如，在讲授人教版高中物理选修 3-1“串联电路和并联电路”时，笔者请学生考虑一个问题：在串联电路中有一个 5 Ω 的固定电阻 X 和 5～10 Ω 的可变电阻 R，已知电路两端的总电压为 U=20 V 且保持不变，这个电路中通过的电流 I 是否可以为 1 A、2 A、4 A 呢？学生根据 ，将电流值代入公式，如将 I=1 A 代入，得到 ，而题中所给的变电阻的值为 15 Ω，超出其范围，因此电流 I 不可取 1 A，以此类推其他两种情况。但是通过研究我们发现，这道题就是考查当电阻变化时电路中的电流变化范围是多少？并不需要将选项中的每种情况都进行计算，只需要考虑电流的最大值和最小值，在此范围中筛选即可。当可变电阻 R 取最大值时，总电阻最大，根据  可知，此时电路中的电流最小为 1.33 A;同理，当可变电阻取最小值时，总电阻最小，此时电路中的电流值最大为 2 A。通过这样的分析我们能够得到电路中电流的变化范围，排除题目中的无关选项，然后再看符合条件的选项中存在哪些条件继续筛选排除。

我们假设题目中的某个变量到达极限值，根据极限值情况就能将题目简单化。其实，这些取值范围是透彻分析题目得到的结果。学生对题目进行剖析时，要更加深入一点，把一切条件都把握好，并在脑海中反映出来，从多角度去将各个问题击破。

二、别出心裁，寻求最优途径

（一）关注特殊，尽量化繁为简。有时我们利用极限思维找到解题切入点并不能解决整个问题，得到最终答案。一道题目的解题方法往往有很多种，这时如果学生能够利用极限思维找到特殊值，那么就能将复杂的题目简单化，化繁为简，便于找到最优的解题途径。

例如，在讲授人教版高中物理必修 1“牛顿运动定律”时，我们先进行了相关的运动实验：一个木块从斜木板上滑下，运动了一定的距离 L 后停止;当将这个木块换成小车，它与木板之间的摩擦力 f 变小，最后在平面上运动的距离 L 也变大;当木板变得更加光滑时，小车运动的距离 L 会更远一些。这时，我们可以想象一个极限情况，当小车与木板之间的摩擦力 f 无限变小成为 0 N 時，没有力 F 可以改变它从斜面落下后的运动状态，它将会保持落下时的速度匀速直线运动，一直运动下去。这就是牛顿第一定律的内涵：力是改变物体运动的原因而不是维持物体运动的原因。我们在实验中关注到特殊的状态，即没有摩擦力 f 的存在，小车不受外力的影响，其运动状态是不会发生变化的，这极大地简化了实验过程。

由此可以看到，当学生利用极限思维找到特殊值时，能够很好地将问题简化，解题过程也大大缩减。学生有了这一思想认知，今后遇到类似的问题或者是在其他学科中解题时，都能很好地融会贯通。将复杂的问题简单化，使学生真正体会到物理这门学科的乐趣。

（二）考虑首尾，明确变化过程。在物理学习中我们会遇到很多有关状态变化的问题，要想解决这类问题，必须将其运动变化过程进行透彻分析。这就要求学生考虑首尾，即运动前和运动后物体的状态。然后根据状态的变化情况，利用极限思维分析其发生变化的过程，找到最简便的解题的途径。

例如，在讲解人教版高中物理选修 1-2“能量守恒定律”时，我们已经知道能量不会凭空产生也不会凭空消失，那么当一个质量为 m 的小球以速度 v 向前运动，撞击上一个质量为 M 的大球时，小球静止，此时大球会以什么样的速度运动呢？根据能量守恒定律，将大球和小球看作一个运动系统，如将它们之间的摩擦力等外力极限接近于零，则没有其他的能量损耗。开始时整个系统的能量在小球身上，即 q=mv，结束时整个系统的能量在大球和小球身上，Q=MV+m'v'，这就是运动前后的整个状态。然后我们看题目中阐述，小球在撞击了大球以后变成静止状态，即 v'=0 m/s，Q=MV=q=mv，M，m，v 都是已知量，代入数值即可得到大球的运动速度 V，也就是说，小球在撞击了大球以后将自己本身的全部能量全都转移给了大球。

学生通过分析物体在开始和结束时的状态，可以推断其发生了怎样的变化。再结合题目进行整理归纳，即可得到解题的思路。这时，我们再引导学生就相关的极限条件进行思考和假设，就可得到极限情况下的结果。利用极限方法进行透彻分析，找到最优的解题途径。

三、回扣题目，检验结果正误

（一）考虑临界情况，检验推导结论。在解决过程中，我们虽然经过了一系列的题目分析和计算以后，得到了初步的结论，但这时还不能算完成，还需要验证结果是否正确。这时，我们可将推导出来的结果带入原来的题目中去，得到普遍的答案。若是利用好临界情况那么就能简便地进行验证，节约我们的验证时间。

例如，在讲述人教版高中物理必修 1“相互作用”时，一个人站在电梯里，如果电梯以  的加速度做匀减速直线运动，那么人对电梯的压力 F 是多大？学生将这个人看作一个质点分析其受力：首先受到竖直向下的重力 G，然后电梯对其有垂直向上的支持力 N，G-N=ma，最后受到的加速度与电梯做的运动是相同的，大小一致，方向向下。可以根据这些得 F=N=G-ma=mg-ma=mg。但是检验时发现，当 a=g 这个临界情况时，人处于完全失重状态，这时对电梯的压力恰好为 0 N，那么如题目所讲的，当  时，人已经脱离了电梯地面，对电梯的压力 F=0 N，与之前得到的答案不符。可知上述这种解题方法是不对的，我们需要重新思考解题策略。

考虑临界值其实也是一种极限思维的应用，就是将题目中未知数的数值无限接近于一个临界值，看得到的結果是否与题目要求一致。这大大缩减了检验时间，提高了做题的效率和正确率。在教学中，教师要培养学生的检验意识，而不是做完题目就不在乎正确与否。

（二）可以无穷放大，检验计算数据。在解决物理问题中经常会做一系列的假设，我们检验计算结果时也可以利用这一方法。比如，假设某一数值趋近于无穷大，即其最大的极限值，在这种极限情况下去验证结论。当数据在极限值满足题目条件时，一般取值自然而然地也就满足题目要求，得出结论正确的结果，否则就是错误的结果。

例如，在讲述高中物理选修 1-1“高压输电”时，已知高压电路中的电阻为 1 Ω，当用 400 W 的功率和 1000 W 的功率输电时，发热损失的功率哪个更多一些？学生根据公式 ，代入数值可得高压输电损失的功率更大。但这样的结果是正确的吗？如果是这样为什么我们国家还会采用高压输电呢？带着这个疑惑我们利用极限思维对该结果进行检验：当输送电压 U 取无穷大时，P 保持不变，电路中的电流趋近于 0 A，而当输送电压 U 无穷小，我们假设为 0 V 时，P 不变，此时电路中通过的电流趋近于无穷大。根据电流的热效应 Q=I2Rt 可知，电流越大，热效应越大，线路中损失的功率就越多。也就是说，高压输电与低压输电相比损失的功率应该是更小的，与我们之前所得到的答案不符。我们应该修正自己的思路，探讨为什么这种方法存在缺陷，以及该运用哪一个思路和公式分析和计算。

无穷不是值非常大或者无限小的数字，我们只是假设无限接近但不等于某一个数值，在解题时可以直接带入该数值得出结论。当这种特殊情况满足时，往往普遍情况也是满足的。学生这样检验可以很快发现原来结论中的错误点，并进行改正，检验原先的计算数据。

总而言之，在物理解题时运用极限思维，可以极大简化解题过程。学生利用极限可以找到切入点、得到最优解、落实好检验，这样可按部就班地进行学习，循序渐进地掌握更多物理知识。由简到难，认识到物理并没有想象中那么困难和枯燥，从而保持了对物理这门学科的热情和兴趣。

【参考文献】

[1]赵松年.对高中物理解题思维方法的探究与运用[J].教育教学论坛，2013（37）

[2]陈 希.高中物理解题中极限思维的应用方法[J].考试周刊，2017（37）

[3]李 超.对高中物理解题思维方法的探究与运用探讨[J].新课程（下），2017（8）

[4]任禺翰.分析物理解题中极限思维法的应用方式[J].课程教育研究，2017（40）

（责编 卢建龙）