品味数学教材?例谈数学思想

摘 要：数学思想是数学的灵魂，是对数学规律的理性认识，而数学方法则是数学的行为，是数学思想的具体反映。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学思想和数学方法是基础知识的重要组成部分，这是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。

关键词：整体思想;数形结合;转化思想

一、整体思想的应用

数学中在解决一些计算或化简求值等问题时，常常将一些数或式子看成一个整体进行计算，使得计算更加简便，这就是数学思维方法中的“整体思想”。

类型一 整体思想在方程组中的应用

例1：解方程组

x+y=1    ①

y+z=2    ②

z+x=3    ③

导析：本题主要考查三元一次方程组的解法，但可根据题目的具体特点，采用简单的方法求解，构造（x+y+z）的整体是解题的关键。因为方程的左边每个未知均出现两次，三个式子相加后的2（x+y+z）=6，所以x+y+z=3④，再用④式依次减去①②③，可直接化三元为一元，从而得到方程组的解。

解：—，得x+y+z=3，④

④―①，得z=2，

④―②，得 x=1，

④―③，得y=0.

所以原方程组的解为

x=1

y=0

z=2

类型二 整体思想在整式求值中的应用

方法归纳：在进行条件求值时，可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从而使复杂问题简单化。

二、数形结合思想的应用

数形结合思想就是在研究问题的过程中，把数和形结合起来分析，把求图形性质的问题转化为求数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为求图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

类型一 数形结合思想在整式乘法中的应用

例2：在边长为a的正方形中挖一個边为b的小正方形（a>b），再沿虚线剪开，如图1，然后拼成一梯形，如图2，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是 （       ）。

A.a2-b2=（a+b）（a-b）

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D. a2-b2=（a-b）2

导析：图1中阴影部分的面积表示为a2-b2，图2的面积可以表示为—[（2a+2b）（a-b）]=（a+b）（a-b）。故有a2-b2=（a+b）（a-b）。

解答：A

类型二 数形结合思想在二元一次方程组中的应用

例3：小明和小红先后用8个同样大长的长方形拼图，小明拼成一个大长方形（如图3），而小红却拼成一个正方形，中间还留下了一个边长为2mm的小正方形（如图4），你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？

导析：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，从如图3的长有两种围成方式，可得3x=5y;从图4的边长相等，可得2x+2=x+2y联立得方程组。

解答：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，依题意得  3x=5y，               解得  x=10，

2x+2=x+2y，                 y=6.

所以小长方形的长为10mm，宽为6mm。

三、转化思想的应用

转化的思想方法在数学中非常重要，它是指把较难解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。

类型一 转化思想在解几何问题中的应用

例4：已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则BED的度数是（     ）

A.  53°B.  63°C. 73°D. 83°

导析：过点A作AF∥BC（如图5），∴∠C= ∠CAF，∠CBE=∠EAF，∵∠C =26°，∠CBE=37°，∴∠CAE=∠EAF+∠CAF=∠CBE+∠C=37°+26°=63°，又∵AC∥ED，∴∠BED=∠CAE=63°。

解答：B

方法归纳：在平行线中，从折点出发作平行线是解决求角或证明角的关系题中常见的一种辅助线的添法，通过做辅助线，将所求角转化为已知角来求解。

类型二 转化思想在解方程组中的应用

例5：  解方程组：  2x-y=6①，

x+2y=-2②，

解答：①×2+②，得5x=10，解得 x=2。将x=2代入①，得2×2-y=6，解得y=-2，所以原方程的解为x=2，y=-2。

方法归纳：解二元一次方程组的基本思路就是通过消元，实现由“二元”向“一元”“未知”向“已知”的转化。

四、方程思想的应用

方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。方程思想的应用主要分为两种类型，如方程思想在几何求角中的应用以及方程思想在“三数”、方差中的应用，其中以方程思想在“三数”、方差中的应用举例说明。

例6：已知一组数据1，2，3，x，5，它的平均数是3，求这组数据的方差。

导析：先由平均数的公式求得x的值，再根据方差公式求方差。

解答：根据题意知—=3，解得x=4，方差S2=—[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2。

滴水穿石，非一日之功，要使学生真正具备灵活处理难题的思想，仅仅几堂课是不能达到的。但是，只要我们在教学中提炼教学思想方法来深化课堂教学，将数学知识建立在数学思想方法的基础上，用数学思想方法指导学生掌握数学的精髓，假以时日，学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟。

参考文献：

[1]张文林.例谈数学思想方法在教学与解题中的应用[J].初中数学教与学，2012（14）：36-38.

[2]张海群，朱家荣.例谈数学思想方法在初中数学解题中的应用[J].成功（教育版），2011（10）：178-179.

作者简介：胡跃平（1970—），男，湖南洞口人，一级教师，本科，研究方向： 初中数学教学。