关注学生认知特征，实施高效数学教学
——由2019年全国卷Ⅰ理科数学第20题想起的

☉福建省泉州第五中学 黄种生

数学认知结构是指学生在自己的头脑中建立的数学知识结构，它是学生进一步学习数学的基础，也是教师教学的出发点和目的.教师讲解的知识，只有被学生消化吸收，转化为学生的数学认知结构，教学才是有效的，转化得越多，教学越高效.因此，数学教学如果能坚持以学生为主体，关注学生的认知特征，针对学生的学习情况进行，就能收到好的效果，做到高效教学.2019年全国卷Ⅰ理科数学20题的解法，让笔者想起一道导数压轴题的教学处理，现以它为例加以说明.

题目已知函数f（x）=aex+xlnx+1.

这是福建省泉州市2019年毕业班单科质检理科数学第21题，本文对第（2）问的解法及教学处理进行分析与思考.

解法一：（利用“隐性零点”带参数分类讨论法）

且f（1）=0，所以f（x）只有一个零点.

当a＞-1 e时，f′（x）=aex+lnx+1，令g（x）=f′（x）.

①当a≥0时，g′（x）＞0，g（x）=f ′（x）在（0，+∞）上递增，且x→0时，f′（x）→-∞，f′（1）=ae+1＞0，所以存在x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，

且x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增.所以f（x）有最小值f（x0）=aex0+x0lnx0+1.

由f′（x0）=0得，aex0=-lnx0-1，所以f（x0）=（x0-1）lnx0＞0.

所以f（x）没有零点.

且x→+∞时，g′（x）→-∞，所以存在x0＞1，使得g′（x0）=0，如图1，且x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（x0，+∞）时，g′（x）<0，g（x）递减.所以g（x）有最大值g（x0）=aex0+lnx0+1.

图1

图2

由g′（x0）=0得.所以.

因为x0＞1，所以g（x0）＞0，即f′（x0）＞0.

又因为x→0时，f′（x）→-∞，x→+∞时，f′（x）→-∞，

所以存在x1，x2，0＜x1＜x0＜x2，使得f′（x1）=f′（x2）=0.

如图2，x∈（0，x1）时，f ′（x）＜0，f（x）递减，x∈（x1，x2）时，f ′（x）＞0，f（x）递增，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减.

所以f（x）有极小值f（x1）=aex1+x1lnx1+1，有极大值f（x2）.

由f′（x1）=0得，aex1+1=-lnx1，所以f（x1）=（x1-1）lnx1＞0.

所以极大值f（x2）＞0.又因为x→+∞时，f（x）→-∞.所以f（x）有且仅有一个零点x3.f（x）的图像如图3.

图3

分析：解法一符合学生的认知水平，是常规解法，学生容易想到，故大部分学生采用解法一答题.由于解法中多次用到“隐性零点”，多次利用导数求函数的极值、判断函数的零点，解法中涉及分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想，使得解法一虽然容易想到，但复杂抽象，运算难度大，大部分学生很难完整地解答出来.需要指出的是，标准答案中没有提供解法一，有些教师没有想到这种解法，不会讲解解法一；而有些教师虽然想到了这种解法，但认为它太难了，讲解的效果不好，也不去讲解解法一.因此，大部分教师没有讲解解法一.

而笔者认为，教学要关注学生的认知特征，既然大部分学生都用解法一去解答，又都碰到困难解不出来，那么教师就不能回避，就必须针对学生的实际困难进行讲解，只有这样，才能帮助学生答疑解惑，才能帮助学生构建更好的数学认知结构.因此，笔者把它列为解法一，对它进行详细讲解.针对解法一中复杂抽象和运算难度大的特点，笔者在讲解时采取了以下措施：

1.画出上面的三个图形，以降低抽象度.

2.在利用“隐性零点”证明g（x0）＞0时，教师给予讲解，在证明f（x1）＞0和f（x2）＞0时，则引导学生自己证明，在判断函数的零点时，让学生自己判断，即在难点的教学上，引导学生参与.

3.讲解完成后，把解法一布置成作业，让学生再次思考与运算，把学习落到实处.高考后，我们发现，解法一的思路和2019年高考全国卷Ⅰ理科数学20题的解题思路类似.

例1（2019年高考全国卷Ⅰ理科数学20题）已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数.证明：

（2）f（x）有且仅有2个零点.

证明：（1），令g（x）=f″（x），

（2）f（x）的定义域是（-1，+∞），由（1）知，f ′（x）在（-1，x0）上单调递增，在上单调递减，因为f′（0）=0，所以当x∈（-1，0）时，f ′（x）＜f ′（0）=0；当x∈（0，x0）时，f ′（x）＞f′（0）=0.又因为

综上可得，x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，x1）时，f′（x）＞0；x∈（x1，π）时，f′（x）＜0.

所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，x1）上单调递增，在（x1，π）上单调递减.又因为

综上所述，f（x）有且仅有2个零点.

思考：这道高考题在利用导数求函数的极值、判断函数的零点、运用数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想解题等方面与解法一类似，但比解法一简单.正是因为笔者关注学生的认知特征，对学生学习中出现的困难不回避，才会对解法一进行详细讲解，才会采取相应的措施帮助学生克服难点，这些做法是有效的，它有利于提高学生的数学能力，有助于学生做好这道高考题.

解法二：（转化为另一个较简单的函数）

且f（1）=0，所以f（x）只有一个零点.

①当a≥0时，令g′（x）=0得，x=1.当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减；

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增.所以g（x）有最小值g（1）=ae+1＞0.

所以g（x）没有零点.所以f（x）没有零点.

且x→+∞时，g（x）→-∞，所以g（x）有且仅有一个零点，所以f（x）有且仅有一个零点.

分析：解法二是试卷提供的标准答案，令g（x）=，则f（x）与g（x）有相同的零点，对于这点，学生很容易理解.由于的零点很容易分析，以后的分类讨论就简单自然，运算量也不大，因此许多教师认为解法二简单，直接按答案讲解，没有进行深入的探究.

解法二的关键是把f（x）除以x得到g（x），这种解法是把对一个函数某种性质的研究等价转化为对另一个较简单函数的研究，我们把这种方法简称为“转化为另一个较简单的函数”.许多学生没有这种转化的意识，有的学生即使有这种意识，但不知道如何转化？朝哪个方向转化？于是，怎么想到把f（x）除以x得到g（x），就成为解法二的难点，几乎难倒了所有学生，试卷中很少有学生使用解法二作答.针对这个特点，在讲解完解法二后，笔者并没有就此结束，而是作了如下的拓展.

例2（2010年课标全国卷文科数学21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.

（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

分析：（2）当x=0时，f（0）=0.当x＞0时，令g（x）==ex-1-ax，则问题转化为当x＞0时，g（x）＞0，就简单多了.

例3（2011年课标全国卷理科数学21题）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

分析：

例4（2011年课标全国卷文科数学21题）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

分析：

综上，只有关注学生的认知结构，以学生为主体，在讲解这一题目时，我们才不会简单地一带而过.正是关注到学生“会想到但做不出来”的情况，我们才会讲解解法一，并采取一些方法，降低题目的抽象度，分散题目的难度，把思考与运算落到实处，让学生具备解决2019年全国卷Ⅰ理科数学20题的能力；正是基于学生“不会想”的问题，我们才对解法二进行拓展，帮助学生树立“转化为另一个较简单的函数”的解题意识，帮助学生解决“怎样想”和“怎么做”的问题.这种立足于学生的教学，能帮助学生构建更好的数学认知结构，能提高学生分析问题和解决问题的能力，能提高学生的数学能力，能把培养学生的数学核心素养落到实处.因此，这种教学是高效的.