关注几何体积，探究求解策略

☉江苏省赣榆高级中学 郭新祝

求解空间几何体的体积是高中数学较为常见的题型，受限于几何体的结构和所给条件，在求几何体的体积时需要选用合理的方法策略，下面简要讲解其中的三种方法以及使用思路.

一、直接求解——体积公式法

直接求解，即利用几何体对应的体积公式，将相应的几何量代入公式来求解.适用于公式法的几何体一般较为常见，且形状规则，因此不需要对其进行转化与变形，只需要结合体积公式探寻条件即可.利用公式法可以求解柱体、锥体、球体等几何体的体积.

例1如图1所示，已知三棱锥P-ABC的棱长PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，试求该三棱锥的体积.

图1

分析：题干给出了三棱锥的棱长PA、AB和AC的长以及相关的角度，求该几何体的体积则可以考虑直接使用体积公式，将其视为以△ABC为底，以点P为顶点的三棱锥，则需要作出底面上的高，并求出底面积和高的值即可.

解：作底面△ABC上的高PO，即PO⊥底面ABC，然后连接AO，如图1所示，分析可知AO为PA在底面上的射影，且AO为∠BAC的角平分线，过O点作OE⊥AB于点E，连接PE，则PE⊥AB.故.而底面△ABC的面积为，所以三棱锥的体积，即三棱锥P-ABC的体积为.

评注：几何体的公式法是需要学生掌握的基本方法，也是几何体体积求解中最为基础的思路.利用该方法求解时需要熟悉几何体对应的体积公式，以及公式中具体字母所对应的含义.例如上述三棱锥的体积公式为，其中的S为三棱锥的底面积，而h为对应底面上的高，两者之间有着紧密的对应关系，需要配合使用.因此在利用公式法求解时需要对几何体进行合理的定型，结合条件来确定其底面积.

二、等量转化——体积恒等法

我们知道从不同的角度来分析问题会得出不同的结论，同样的，对于同一个几何体，从不同的角度观察可以获得不同的条件.例如可以通过改变几何体的底面和顶点或转换高，利用等体积原理来求体积，即几何体的体积恒等转化法.一般体积恒等法有两种应用思路：一是将几何体视为是不同的底面和高，二是通过恒等变换求解恒等几何体的体积.

例2如图2所示，已知四边形PCBM为直角梯形，M-ACN为三棱锥，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2.若AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角度为60°，N为线段BC的中点，试求三棱锥N-ACM的体积.

图2

分析：题干表明PCBM为直角梯形，且给出了相应的线段长和角度等条件.求解三棱锥N-ACM的体积时，若将其视为是以点N为顶点、ACM为底面的三棱锥，则求解较为困难，可以采用体积恒等法，对三棱锥的顶点和底面进行转化，然后利用三棱锥的体积公式代入求解即可.

解：易知MN=PC，且MN∥PC，进一步分析可知MN⊥平面ABC.已知直线AM与直线PC所成的角度为60°，则∠AMN=60°，在△CAN中使用余弦定理可得AN=，在△AMN中可得MN=AN·cot ∠AMN=1，因此四边形PCNM为正方形.

可将三棱锥N-ACM视为以点M为顶点，△ACN为底面的三棱锥，则MN就为底面到顶点的高，即，即三棱锥M-ACN的体积为.

评注：等体积转化是数学几何“等量法”的应用体现，也是几何体体积求解较为有效的方法.其基本思路就是通过转化几何体的观察视角，建立不同的求解模型.上述求解三棱锥的体积采用了底面和顶点的等体转化思路，从而将其视为是较为特殊的三棱锥，直接获得了底面上的高.而在等体转化应用时需要注意两点：一是视角转化必须基于同一几何体；二是尽量将其转化为较为特殊的几何体，便于后续的公式套用，尤其是关注底面上高的获得.

三、图形构建——体积割补法

体积割补法是对初中数学面积割补法的应用延伸，即通过几何割补的方式将不规则的几何体转化为较为规则或特殊的基本几何体，通过求简单规则几何体的体积来间接求解的一种思路方法，因此该方法适用于抽象、不规则几何体的体积求解.另外割补法的使用有三种思路：一是只割不补，二是只补不割，三是割补混用，解题时需要灵活选用.

图3

例3如图3所示，已知六边形ABCDEF为一不规则的多面体，其中四边形ABCD为边长为3的正方形，若EF∥AB，EF⊥AE，且，线段EF到线段AC的距离为2，试求该几何体的体积.

分析：上述图形为不规则的多面体，不属于基本的几何体，故没有直接适用的体积公式，因此需要采用合适的方法对其进行转化

变形，求多面体体积最为常用的方法为体积割补法.题干中指明EF到线段AC的距离为2，分析可得EF平行于平面ABCD，因此可以视为EF到平面ABCD的距离.另外对于该多面体可以从两个角度使用割补法：一是对几何体进行只割不补，二是对几何体进行只补不割.

解：思路一——只割不补

在几何体上取线段AB和CD的中点，分别设为点G和H，然后连接EG，GH和EH，如图4所示，从而平面EHG将多面体分割为三棱柱BCF-GHE和四棱锥E-ADHG，则该多面体的体积就为上述四棱锥和三棱柱体积之和.其中四棱锥可以视为以点E为顶点，以矩形ADHG为底面的四棱锥，其中底面的面积为正方形ABCD的一半，即，而三棱柱的体积为，所以整个多面体的体积为

图4

思路二——只补不割

图5

采用补全的方式来求多面体的体积，将其补全为规则的几何体，分别过点B和点C作线段AE和DE的平行线，设其交点为点G，然后连接FG，BG，CG，如图5所示，则几何体转变为较为规则的几何体，而添加的几何体为三棱锥F-BCG，最终原几何体的体积为补全几何体的体积减去三棱锥的体积，即V原多面体=V补全几何体-VF-BCG.根据已知条件可确定点F到平面ABCD的距离为2，而正方形ABCD的面积为9，则V补全几何体=9，利用公式可确定三棱锥F-BCG的体积为，所以，即多面体的体积为

评注：实际上体积割补法是体积加减的一种恒等转化方式，也是几何由抽象向规则转化的思维方法.上述是对同一多面体采用不同割补思路的求解分析，其转化核心是相一致的：将几何体转变为规则几何体的组合.而在实际解题时需要注意：几何体割补时应联系题干条件，将几何体转化为与已知条件联系紧密的几何体，以便于体积求解.

综上可知，利用几何体的体积求解策略均是为了降低思维难度，将问题简单化.无论是利用体积公式，还是对体积进行等量、割补转化，均需要充分挖掘几何体的结构特点，厘清体积与已知条件的关系，建立合理的几何模型.另外，在学习体积求解的方法策略时需要深入渗透数学思想，以提升解题思维为重点.