巧借特殊法，妙解客观题

☉江苏省常州市金坛区第一中学 宫鸡明

在解答高考数学选择题或填空题这类客观题的过程中，当一些题目答案具有相对的确定性时，经常可以借助一些特殊元素用特殊法处理，这些特殊元素根据题目背景，可以有针对性地选取一些特殊值（数值、角度、长度等）、特殊函数、特殊数列、特殊平面向量、特殊复数、特殊图像（点、图形等）等相关元素来进行特殊化处理.此类数学客观题结合特殊法来处理，经常能简单有效地解决问题，达到非常好的效果，快捷方便，有效节约宝贵的时间.下面结合近两年高考数学中特殊法的巧妙应用，结合相应的高考真题加以剖析.

一、特殊值法

在解决一些以函数、不等式、算法等为背景的客观题时，经常可以结合题目的相应条件，通过特殊值（包括数值、角度、长度等）的选取，从而达到正确判定的目的.特别在判断一些函数图像、不等式解集等问题时，利用特殊值法破解选择题，往往可以简化过程、提升速度.

例1（2018·全国卷Ⅰ文、理·5）函数f（x）=在［-π，π］的图像大致为（ ）.

分析：先结合题目条件中函数解析式，结合奇函数的定义确定其是奇函数，进而结合相应三角函数特殊值的选取，结合相关的函数图像加以排除，从而得以间接判定，可以简单快捷判断出正确的函数图像.

解析：由于，可知函数f（x）是奇函数，其图像关于坐标原点对称，由此可以排除选项A；

结合选项B、C、D中的函数图像，只有选项D中的函数图像满足以上两个特殊值的特征，故选择答案：D.

点评：利用特殊值的选取来破解相应的客观题时，经常可以回避相关知识的直接利用，从侧面加以合理排除，简化知识层次，从而得以正确快捷地处理.当然选取合理、恰当的特殊值，会使得判断更为快捷，从而减少特殊值的选取次数与判断次数.

二、特殊函数法

在破解一些抽象函数的客观题时，经常可以巧妙选取满足题目条件的特殊函数（一般选择比较常见的基本初等函数，此时基本性质与函数图像也较为熟悉）来处理，变抽象函数为具体函数，进而利用特殊函数来发现规律，又回归一般，从而得以寻求破解方法.

例2（2019·全国卷Ⅲ理·11；文·12）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）.

分析：根据题目条件选择特殊函数法，利用特殊函数来分别计算相应的函数值再加以比较，避免去分析与讨论相应的函数基本性质，显得更加易于操作.

解析：由于f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，

取特殊函数f（x）=-|x|满足条件，

点评：解决此类客观题的关键是根据题目条件选取适当的基本初等函数或常见的一些函数，此类函数为我们所熟知，包括其基本性质与函数图像，方便我们利用其性质或图像来回归一般，从而用来解决具有抽象特征的一般性问题.这样处理时，往往可以化烦琐为简单，进而可以快速准确地解答相关的函数客观题，从而得以正确判断.

三、特殊数列法

在破解一些数列客观题时，经常可以借助特殊数列（比如常数数列、较为简单的具体数列等）的引入，化抽象为具体，直接利用特殊数列的通项、求和及相关性质来处理一般性的数列问题.通过特殊数列法处理客观题，可以回避一些抽象数列的性质等问题，有效简化程序，淡化过程.

例3（2019·全国卷Ⅲ理·14）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2=3a1，则=______.

分析：结合题目条件，对应的等差数列是抽象的，而所求解的前n项和的比值又是具体的，从而可以通过选取特殊数列——a1=1，这样处理起来更为熟悉，过程更为简单快捷.

解析：由于等差数列{an}满足a1≠0，a2=3a1，

取特殊数列——a1=1，则知a2=3a1=3×1=3，可得公差d=a2-a1=2，

则知S10=10a1+45d=100，S5=5a1+10d=25，可得，故填答案：4.

点评：其实，本题利用条件确定公差与首项之间的关系，再利用等差数列的前n项和公式加以分析也可以很好破解.通过特殊数列的选取，化陌生为熟悉，使得一般性、抽象性的数列问题特殊化，使问题简单统一，简化过程与运算.

四、特殊图形法

在解决一些涉及函数性质、解三角形、平面向量以及立体几何等客观题时，经常可以借助特殊的函数图像、特殊的平面几何图形、特殊的立体几何图形等的构造与应用来数形结合，进而可以非常直观地来解决相应的客观题.

例4（2019·江苏卷·12）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是______.

图1

分析：常规方法是结合平面向量的基底法或坐标法来处理，难度比较大，不易操作.通过特殊图形的构造——直角三角形，巧妙借助直角三角形的性质以及三角形相似来处理，可以比较简单地利用平面几何知识来解决.

解析：不失一般性，取△ABC为以角A为直角的直角三角形，则有

点评：在一些具有定值结论的平面向量问题中，特殊图形法是解决问题比较常见的一种技巧方法.其往往在题目中一般性平面几何图形的基础上加以特殊化（如一般的三角形进行特殊化为直角三角形、等腰三角形等，一般的四边形进行特殊化为平行四边形、矩形等），这样处理可以使得问题更加特殊，简单，可以使解题更直观，更简捷，便于判断与操作.

特殊法是解答高考客观题的最佳方法之一，是破解一些具有确定结论的客观题问题的一大选择.这样进行特殊法处理，往往可以达到“小题小做”或“小题巧做”的目的，节约时间，提高效率.在利用特殊法破解高考客观题时，有条件允许的话，可适当加以其他方法的检验，达到正确判断的目的.