集合思想在高中数学问题中的应用

刘茹红

摘 要：集合是近代数学中的一个重要概念，也是学生进入高中的新课程学习中第一个内容，内容虽少但集合思想是解决某些数学的重要工具，因此学好集合知识是为学好高中数学其他知识打下基础。

关键词：集合思想;高中数学

一、数形结合思想的应用：数形结合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而用代数方法解答几何问题，对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。

例题1：（2016济宁一模）已知全集U=R，集合，则（ ）

A.[1，3] B.（1，3] C.[-1，4] D.[-1，4）

解析：答案D因为，又因为，

在数轴上（如图所示）表示出集合A，B，所以B=[1，4）.

评注：将数量关系与空间形式巧妙结合，使问题得以直观、简单解决。使用数形结合思想时，需要熟悉相关概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

二、分类与整合思想的应用：分类是根据研究对象的性质差异，分各种不同的情况分析解决问题。

例题2：（2017佛山二模文）已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|-x-2.

（1）当a=1时，求不等式f（x）>0的解集;

（2）设a>-1，且存在，使得，求a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，不等式即，等价于或或

解得或或.

即不等式的解集为

（2）当时，，不等式可化为，若存在，使得，则.所以a的取值范围为.

评注：将集合的知识与不等式综合也是近年来高考考查的一个重要方向。分类时，要注意：确定对象的全体，明确分类的标准，做到不重不漏。

三、化歸与转化思想的应用：化归，转化就是通过化未知为已知，化抽象为具体，化复杂为简单来解决问题的一种数学思想。

例题3：（2013福建）已知集合，则“a=3”是“”的（ ）

充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：答案A当a=3时，，反之，当时，a=2或3，所以“a=3”是“”的充分而不必要条件，选A.

评注：简易逻辑与集合有着密切的联系，很多问题可以转化为集合的观点用集合思想来解。本题将问题中的“充分，必要条件”的转化为集合的知识加以解决，快捷简便。

四、有限与无限思想的应用：当元素是无穷多个时，我们采用描述法表示集合，实现有限与无限的完美结合。

例题4如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.

解析：答案C函数y=ex与y=lnx的图象关于直线y=x

对称，故阴影部分的面积为，由几何概型的概率计算公式得，黄豆落到阴影部分的概率为。

评注：在使用牛顿-莱布尼茨公式求不规则图形面积时，将曲边多边形的面积表示成若干个定积分的和，通过定积分将曲边多边形的无限个小矩形面积的和与有限的积分值和谐的统一起来。

集合思想为我们处理问题开辟了一条新的道路.用集合思想方法来处理数学问题表现得更直观，更深刻，更简捷。在学习过程中，注意对集合思想进行挖掘、渗透，不仅可以有效地掌握知识，而且可以加强各部分知识内容的联系，突出数学问题的本质，使复杂关系条理化、清晰化.对于开拓学生解题思路，简化运算过程，提高学生分析解决问题的能力，从而优化思维品质，拓展数学视野，都具有十分重要的意义。

参考文献

[1]杨梅.集合思想在高中数学中的应用[J].数学学习与研究，2016（15）：91+93.

[2]谌敢.高中数学新教材中集合思想的应用[J].新课程研究（上旬刊），2012（03）：10-11.