欧拉公式的妙用

王晶 郭立丰

摘 要：欧拉公式将三角函数运算转化为复指数函数运算，在三角函数相关运算中利用直观的代数运算解决问题。在微积分运算中，将指数函数与三角函数乘积转化为复变量指数函数简化计算。在微分方程运算中，将复值函数转化为实值函数，体现复数域与实数域的和谐统一。

关键词：欧拉公式、复指数函数、积分、微分方程

欧拉公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为研究这两种函数的有关运算及性质架起了一座桥梁。欧拉公式将实数域问题扩大到复数域讨论，构造复指数函数巧妙地将问题简化。下面给出欧拉公式的具体应用实例。

1.三角函数中的应用

欧拉公式在证明三角恒等式、求解三角方程、三角级数的相关运算和探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使问题得到解决。

2.高阶导数计算中的应用

取其实部可得

3.积分计算中的应用

对被积函数中含有三角函数的积分，利用欧拉公式将三角函数转化为复指数函数，降低解题难度。

4.高阶常系数齐次线性微分方程求解中的应用

高阶常系数齐次线性微分的特征方程求解中，如果特征方程有一对共轭复根，利用欧拉公式及叠加原理将复值函数转变为实值函数。

参考文献：

[1]西安交通大學高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]欧阳光中、朱学炎等.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2012.

基金项目：

[1]2018年度黑龙江省高等教育教学改革一般研究项目，项目编号SJGY20180060

[2]黑龙江省教育科学“十三五”规划2018年度重点课题，项目编号GBB1318022