数学建模核心素养渗透下的《正态分布》教学设计

夏静

数学建模核心素养的培养除了以数学建模活动与数学探究活動的主题进行系统化的培养之外，在平时的课程中数学建模的渗透也是发展数学建模数学核心素养的行之有效的方法。本文将以“正态分布”教学设计中正态分布概念的提出一部分为例，以建构主义理论知识作为指导，结合数学建模的思想方法，将现实问题数学化，在数学建模渗透完成对正态分布概念的学习。

正态分布在生产和生活中是广泛存在和应用的，比如某班级学生的成绩、身高、体重等一般都满足正态分布。因此选择生活中的服从正态分布的实例作为本堂课的引入，既有利于培养学生数学的应用意识，又让学生体会到数学是来源于生活，应用于生活。

人教A版是通过高尔顿钉板实验进行引入，许多教师也就是参照教材上的引入，在网络上找到高尔顿钉板实验的相关视频，虽然采用了视频的方式来激发学生的学习兴趣，然而学生对于高尔顿钉钉板实验也是一知半解，难以达到预期的效果。对于高尔顿钉板实验的设计是十分巧妙的，但脱离了实际生活作为现实意义的载体，不能充分体现正态分布在生产和生活中的广泛存在和应用，也难以体现正态分布的应用价值，因此笔者没有沿用教材上的高尔顿钉板实验，而从学生习以为常的满足正态分布的生活实例出发，在起到激发学生学习兴趣的同时，又让学生感受到数学的应用价值。笔者此处采用了学生熟悉的上学交通工具的选择情景作为引入，通过数学建模解决问题的过程让学生认识正态分布。

（1）问题的发现，提出问题

问题：每天上学的时候总是感觉时间很紧张，公交车、单车是学生上学放学常见的两种交通工具，选择哪一种使得上学更不容易迟到？

学生凭借各自的生活经验可能会有不同的答案，只凭借经验做出的判断不一定是可靠的，因此教师引导学生从数学的角度思考如何解决这个问题。

（2）问题的探究，求解问题

问题1：运用统计的思维，如何从数学的角度解决交通工具选择问题？

通过对收集到的数据进行分析，从数据分析的角度解决交通工具选择问题，不妨就选择其中一位甲同学收集到的数据进行分析。（如表1、表2）

问题2：有一天，甲同学只有32分钟就要上课了，选择哪一种交通工具更不容易迟到？

在具体的问题情境下分析数据，学生很容易想到通过平均值进行分析，教师肯定平均值是一种分析方法，并引导学生还可以通过频率分布直方图来分析数据。（如图2）学生经历绘制频率分布直方图的过程，对频率分布直方图相关知识起着回顾作用。

问题3：根据频率分布直方图选出上学最不容易迟到的交通方式？

通过绘制频率分布直方图的过程，对数据进行处理，学生都能够选择出公交车，但大多数同学都不是从概率角度分析频率分布直方图得出的结论。教师引导学生回顾频率分布直方图小矩形面积表示的概率含义，从具体问题中的32分钟作为切入点，在时间不超过32分钟的时候，观察得到公交车小矩形面积大于单车小矩形面积，也就是乘坐公交车不迟到的概率大于骑单车不迟到的概率，因此得出选择公交车的结论。由此，在频率分布直方图的已有知识基础上解决了交通工具的选择问题。

（3）问题的深入探究，完善模型

问题4：由这样30个数据得出的结论可不可靠？怎样使得结论更加可靠？

在上一个过程中，已经初步解决了交通工具的选择问题。在必修三用样本估计总体内容的学习中，学生已经知道样本容量越大越能反映总体的情况，由此学生大多都能得出增加样本数据能够提高结论的可靠度的结论。

通过将与甲同学住在同一小区的其他几个同学收集的数据也纳入分析，展示样本容量不断增加时候的频率分布直方图。（如图3）引导学生从频率分布直方图的形状和频率分布折线图的光滑度这两方面进行分析，学生通过观察由公交车的数据绘制的几个频率分布直方图，可以总结出中间高两边低的形状特点。但是对于频率分布折线图随着样本容量不断增加而更加光滑的结论学生不易自主观察出，教师引导学生观察随着样本容量不断增加，频率分布折线图折痕越来越多，但是折痕越来越不明显，从这个角度来说明频率分布折线图随着样本容量的不断增加越来越光滑的趋势，最终近似为一条光滑的曲线。（如图4）由此在没有极限思想作为支撑的条件下，学生也是能够理解的。这条曲线也并不是完全陌生的，实际上就是以前学习过的总体密度曲线。在观察得出公交车的数据绘制的频率分布直方图、折线图的特点后，学生能够类比观察出由单车数据制的频率分布直方图、折线图在形状和光滑度方面也相同的特点，再次加深了对正态曲线形成过程的体会。

通过介绍数学家高斯，结合德国钞票上的正态密度函数的表达式给出正态密度函数，既避免了教材上直接给出正态密度函数表达式导致的学生难以接受的问题，又借此布置相关的正态分布发展史的阅读作业，丰富了数学文化知识。（如图5）

（4）问题的深入解决，体会正态曲线的产生过程

问题5：增加样本容量之后，乘坐公交车和骑单车不迟到的具体概率？

教师引导学生从正态曲线的产生出发，逐步引导学生得出正态曲线与横坐标轴围成的区域面积表示概率，于是乘坐公交车和骑单车上学不迟到的概率就是时间在区间（0，32]与正态曲线围成区域的面积。通过对比公交车和单车的正态曲线与横坐标在（0，32]内围成的面积大小，在增加样本容量的情况下，得出仍然选择公交车上学更不容易迟到的结论。

乘坐公交车和骑单车不迟到的具体概率就是时间在区间（0，32]与正态曲线围成区域的面积。通过老师的引导，学生基本上能够想到用定积分求出时间在区间（0，32]与正态曲线围成区域的面积，即乘坐公交车不迟到的概率，同理也能求出骑单车不迟到的概率。特殊的时间区间（0，32]上的概率学生会求解，对于任意时间区间（a，b]上的概率学生也能快速得出，充分认识到正态曲线的几何意义。

通过增加样本容量对交通工具选择问题进行深入探究，学生体会了正态曲线的产生过程，对正态分布也有一定的认识，于是在此基础上提出正态分布的定义。

（5）抽象概括，获得新知——正态分布定义的提出

一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足

则称随机变量X服从正态分布。如果随机变量X服从正态分布，则记为（）。

正因为正态分布在日常生产、生活中的广泛存在和应用，而数学建模又是基于现实问题进行数学抽象，从而能够用数学语言表达现实问题、进而用数学方法构造模型来解决问题，充分考虑到学生的“最近发展区”，从已有的通过频率分布直方图分析数据的知识出发，通过数学建模实现对现实问题的解决，既反映了正态分布的广泛存在性，又在数学建模解决问题的过程中体会了正态曲线的产生过程。实现了数学建模与课堂内容的良好结合，达到了数学建模的有效渗透。