“看见”内在联系 体悟数学思想

2019-09-10 07:22唐剑岚王君畬
中小学课堂教学研究 2019年10期
关键词:看见长方形公式

唐剑岚 王君畬

【摘 要】“圆的面积”是小学六年级上册的重点内容,其公式的推导一直是教与学的重难点,也是培育学生数学推理的良好素材。传统教学主要采用剪纸拼接的方式实现化圆为方,进而推导出圆的面积公式。这是一种“掐头去尾烧中断”的教学方式,比较生硬,且难以突显知识的内在联系和知识的发生发展过程,也难以渗透数学思想,容易导致学生满足于“知其然而不知其所以然”。文章试图将Hawgent皓骏动态数学技术深度融入其中,让学生“看见”知识的内在联系,体悟数学思想的魅力,提高推理素养。

【关键词】圆的面积;Hawgent皓骏动态数学;数学思想;创课

一、创课背景与问题

北师大版数学六年级上册“圆的面积”是小学阶段重要的学习内容,也是培育学生数学推理素养的良好素材,其中圆面积公式的推导是教与学的重难点。传统教学主要采用剪纸拼接的方式实现化圆为方,以推导出圆的面积公式。这是一种“掐头去尾烧中断”的教学方式,比较生硬,且难以凸显知识的内在联系和知识的发生发展过程,也难以渗透数学思想,容易导致学生满足于“知其然而不知其所以然”。

在学习本节内容之前,学生已经历了应用转化思想、剪切拼接等方式探讨平行四边形、三角形、梯形等由直线围成的图形面积。圆是由曲线围成的图形,从图形的外在特点来看,与其他图形的联系不大,故其面积公式的推导既是重点又是难点。如何在突出重点和破解难点的同时,提升学生的数学推理素养?本文将Hawgent皓骏动态数学技术深度融入其中,让学生“看见”知识的内在联系,体悟数学思想的魅力,提高数学推理素养,提升教学有效性,为优化圆面积的教学提供一些参考。

二、创课设计与实录

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,数学知识的教学应注重学生对所学知识的理解,体会数学知识之间的关联。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想,积累活动经验,提高数学素养[1]。基于课程标准理念和现实诉求,本次创课主要包括三个环节。环节一,设计“化圆形为长方形”活动,引导学生探寻圆与长方形等图形的内在联系,突显转化思想与方法的价值;引导学生基于平板电脑进行自主探究和合作交流,通过动手操作Hawgent皓骏动态数学积件,体验化圆为方的三部曲——先分割(均分成“小三角形”)后拼接再求和,加强“方”“圆”知识的内在联系。环节二,设计“化圆形为三角形”活动,再次引导学生自主学习和合作学习,应用Hawgent皓骏动态数学积件实现转化的三部曲——先分割(无数圆周长的累积)后拼接再求和。环节三,设计“化圆形为其他图形”的活动,引导学生体悟极限和转化思想,类比前两种推导方法,将圆形近似转化成三角形和梯形,进一步体悟转化思想的魅力,感受合情推理的价值[2]。根据上述创课设计思路,研究者进行了以下创课。

师:同学们,今天我们一起来探索圆的面积公式所隐藏的秘密。我们知道圆是由曲线围成的图形,从表面上看,与直线围成的图形如长方形、三角形等关系不大,但其实呢,它们之间隐藏着很深的秘密。到底是什么秘密呢?

(学生感到很疑惑。)

师:我们在推导平行四边形、三角形、梯形面积公式时,采用了相同的方法。这种方法叫什么?

生1:剪拼或割补方法,把平行四边形、三角形、梯形转化成长方形。

师:我们通过剪拼方法将平行四边形、三角形、梯形转化为长方形进而求出它们的面积,这是数学转化思想的魅力。那么圆是否也能转化成我们熟悉的图形,进而推导出它的面积公式呢?

生2:可是圆与长方形、三角形看起来有很大的不同,我们该怎么转化呢?

师:其实,我们在推导圆周长公式时,也用到转化思想,具体是怎么做的呢?

生3:我们运用了滚动法和绕绳法。

师:我们用滚动法、绕绳法实现化曲为直的转化思想,那现在是否可以类比化曲为直,实现化圆为方呢?

师:再一起来回忆一下,在推导平行四边形面积时,我们是怎样转化的?

生4:沿平行四边形的高剪开得到一个三角形,再拼接到另外一边。(生4动态演示Hawgent皓骏动态)

师:可是圆里面没有高,我们该沿什么剪开?

生5:半径或直径吧。

师:很好,大家有想法了!接下来,我们开展小组合作学习,探索圆的面积公式。在合作学习中,我们要注意三点。(1)先自主探究,再相互交流,最后展示分享;(2)操作平板电脑里面的Hawgent皓骏动态数学积件,探究化圆为方的秘密,并思考这样转化的原因;(3)提出同全班分享的问题或困惑。

小圆(代表圆圆组汇报):我们发现将圆平均分时,可以很好地拼成我们学过的图形。(小圆动手操作Hawgent皓骏动态数学积件,如图1。)首先,输入数字8将圆平均分成8等份;接着,将8份圆展开,再把它们拼接起来,得到类似于平行四边形的图形;然后,继续将圆平均分成16、32、128份等,重復前面的操作。如此细分下去,随着分成的份数越多,我们发现拼成的图形越来越像长方形。

生1:真神奇,为什么会出现这样神奇的效果呢?

师:我们不光要看到圆变为长方形的过程,还要看到变化的结果,进一步发现它们的面积公式的秘密。(教师操作Hawgent皓骏动态数学积件,展示将圆无限细分的动态过程。)当圆变为长方形时,长方形的长和宽分别是多少?

小圆:这里的长是圆周长的一半,即πr,宽是圆半径r。圆的面积等于圆周长的一半乘以圆半径,故圆的面积公式为S=πr2。

师:你们现在发现圆与长方形的神秘关系了吧!(教师再次演示将圆无限细分的动态过程,让学生再次经历化圆为方的过程,“看见”长方形的边长和圆的周长与半径的内在联系。)在这个推导过程中,我们应用了什么方法,感受到了什么思想的魅力?

生(齐):我们感受到了割补、转化思想的魅力,Hawgent皓骏动态数学积件太厉害了。

师:我们通过无限分割和有意(强调按照我们想要的图形)拼接,将圆转化为长方形,再次体验了转化的魅力,这在大学里叫做无限分割、以曲代直、拼接求和的极限思想和微积分思想。除了这样的方法,我们可以将圆转化为三角形等图形来推导圆的面积吗?请小组继续合作探究,借助Hawgent皓骏动态数学积件,探索圆与三角形的神秘关系。

小方(代表方方组汇报):通过操作Hawgent皓骏动态数学积件看到,整个圆面由无数个半径大小有序变化从0到r的圆拼接绕成,沿着这些圆的半径剪开,展开并有序拼接这些圆,就转化成了等腰三角形,而求圆的面积就转化成求等腰三角形的面积。我们就神奇地发现圆与三角形的关系了。(小方动手操作Hawgent皓骏动态数学积件,如图2。)

生2:的确很神奇啊!那等腰三角形的面积是多少?底和高分别是多少?

师:生2提问得很好。这个等腰三角形的底与圆的什么有关系,高又是多少呢?

小方:三角形的底就是圆的周长,即2πr,高是圆的半径r,故圆的面积公式为S=πr2。

师:小方解释得很好。(教师再次演示无限分割、以曲代直、拼接求和的动态过程,让学生“看见”三角形与圆的内在联系。)在这个推导过程中,我们应用了什么方法,感受到了什么思想的魅力?

小方:应用了推导圆周长的化曲为直的转化方法——无限分割和有意拼接,我们再次感受到了无限分割、以曲代直、拼接求和等极限思想的魅力。

师:小方总结得很好!从这两个推导的过程中,我们深刻地体悟到了无限分割、以曲代直、拼接求和等思想方法的魅力。除了上面两种转化方法,我们还可以将圆转化为更多的图形进而推导圆的面积吗?我们再次小组探究,类比前两种转化方法,将圆平均分成16份或17份,看看还能发现什么秘密?

师:这个想法很好。你们是如何想到的?

小静:类比前两种推导方法想到的,但这其实是一种近似求解的方法。

师:有道理,近似求解也是一种方法。这种方法也能够推导出圆的面积公式,主要原因还是极限思想的作用。本节课我们获得了三种推导圆面积公式的方法,感受到了转化思想的神奇魅力。其实借助今天的转化思想,推导圆的面积公式还有不需要拼接的方法,这就留给同学们课后进行思考吧!

三、创课评析与反思

技术深度融入教学,不只是技术本身有优势,更关键的是将技术与教学对象(谁来教学)、教学内容(教学什么)、教学方法(怎样教学)和教学评价(教学得如何)“五位一体”深度融合,才能形成生生不息的教学生产力[3]。针对“圆的面积公式为什么是这样,与长方形、三角形等图形的面积公式究竟有什么关系”的问题,笔者调研后发现,九成以上的教师和学生只知道圆的面积公式是S=πr2,但不知道为什么是这样子,處于一种“知其然而不知其所以然”的状态,更谈不上“知何以知其所以然”。这也是笔者做这个研究的初心。本文试图将信息技术深度融入圆的面积公式教学,努力解决“圆的面积公式为什么是这样”的问题。本次创课应该是信息技术深度融入数学教学的典范,具有两个突出的亮点。

1.“信息技术+活动单”,发挥“双主”作用

一般而言,活动单是教师设计让学生经历学习活动的清单。这种活动往往不好发挥教师的主导作用。因此,这里设计的活动单(三个具体活动:化圆为长方形、化圆为三角形、化圆为其他图形),不仅能充分发挥学生的主体作用,还能充分发挥教师的主导作用。这三个具体活动,一方面让学生有效开展合作探究,引导学生基于Hawgent皓骏动态数学积件,优化学习方式;另一方面,便于教师提问、点拨与启发,推进学生有效经历学习活动的过程,体悟活动结果。譬如,当学生能够说出三角形与圆的关系时,教师再次演示无限分割、以曲代直、拼接求和的动态过程,让学生“看见”三角形与圆的内在联系,并再次追问“这个推导过程,我们应用了什么方法,感受到了什么思想的魅力?”在信息技术的助力下,教师的点拨活动可能更有效引导学生有序经历圆面积的推导过程,促进学生有效、深刻地体悟实现数学推理背后的转化思想及其原理。

2.“信息技术+提问链”,“看见”内在联系,体悟数学思想

从理论上来说,绝大多数数学知识是具有内在联系的,只是有些是显性联系,有些是隐性联系。其中,圆与长方形、三角形等图形的内在联系是隐性的,要让学生“看见”它们的内在联系,体悟数学思想,在传统课堂上是难以做到的。这里设计的“信息技术+提问链”,可谓“双镜观察”,可助力实现授人以“鱼”的同时授人以“渔与欲”[3]。信息技术扮演“放大镜”的角色,可以帮助学生看清事物的内在联系,特别有助于学生自我反思习惯的养成。譬如在本文中,借助Hawgent皓骏动态数学积件,通过聚焦“化圆为长方形”和“化圆为三角形”的过程,视觉化圆与长方形、圆与三角形的联系。而提问链扮演“望远镜”的角色,可以帮助学生站得高、看得远、走得稳,特别有助于数学思维品质的提升。譬如,教师通过提问链“那么圆是否也能转化成我们熟悉的图形,进而推导出它的面积公式呢?”“在这个推导过程中,我们应用了什么方法,感受到了什么思想的魅力?”“这个等腰三角形的底与圆的什么有关系,高又是多少呢?”等深度追问,引导学生不仅仅看到了圆与其他图形的显性联系,而且深度体验到了化圆为方、化曲为直、近似求解的转化思想和极限思想的魅力,提升了学生的数学思维品质。

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2011.

[2]毛亚峰.借助操作,深化“转化”思想:“圆的面积”教学实践与思考[J].小学教学参考,2019(5):19-21.

[3]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略:以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究,2015(9):5-10.

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